平均值标准差相关系数回归线及最小二乘法

Posted 2020-08-02

平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法

 相关性

线性相关

数据在一条直线附近波动，则变量间是线性相关

非线性相关

数据在一条曲线附近波动，则变量间是非线性相关

不相关

数据在图中没有显示任何关系，则不相关

 

 

 

平均值

N个数据 的平均值计算公式：

   

 

标准差

标准差表示了所有数据与平均值的平均距离，表示了数据的散度，如果标准差小，表示数据集中在平均值附近，如果标准差大则表示数据离标准差比较远，比较分散。标准差计算公式：

 

x、y两个变量组成了笛卡尔坐标系中的一个坐标(x,y)，这个坐标标识了一个点的位置。

各包含n个常量的X,Y两组数据在笛卡尔坐标系中以n个点来进行表示。

相关系数

相关系数用字母r来表示，表示两组数据线性相关的程度（同时增大或减小的程度），从另一方面度量了点相对于标准差的散布情况，它没有单位。包含n个数值的X、Y两组数据的相关系数r的计算方法：

　　

简单的说，就是 r=[(以标准单位表示的 x )X(以标准单位表示的 y )]的平均数

根据上面点的定义，将X、Y两组数据的关系以点的形式在笛卡尔坐标系中画出，SD线表示了经过中心点（以数据组X、Y平均值为坐标的点），当r>0时，斜率=X的标准差/Y的标准差；当r<0时，斜率=-X的标准差/Y的标准差；的直线。通常用SD线来直观的表示数据的走向：

1、当r<0时,SD线的斜率小于0时，则说明数据负相关，即当x增大时y减少。

2、当r>0时，SD线的斜率大于0时，则说明数据正相关，此时当x增大时y增大。

3、相关系数r的范围在[-1,1]之间，当r=0时表示数据相关系数为0(不相关)。当r=正负1时，表示数据负相关，此(x,y)点数据都在SD线上。

4、r的值越接近正负1说明(x,y)越靠拢SD线，说明数据相关性越强，r的值越接近0说明(x,y)点到SD线的散度越大（越分散），数据相关性越小。

 

 

回归方法主要描述一个变量如何依赖于另一个变量。y对应于x的回归线描述了在不同的x值下y的平均值情况，它是这些平均值的光滑形式，如果这些平均值刚好在一条直线上，则这些平均值刚好和回归线重合。通过回归线，我们可以通过x值来预测y值（已知x值下y值的平均值）。下面是y对应于x的回归线方程：

 

简单的说，就是当x每增加1个SD，平均而言，相应的y增加r个SD。

从方程可以看出：

1、回归线是一条经过点 ，斜率为 的直线。

2、回归线的斜率比SD线小，当r=1或-1时，回归线和SD线重合。

 

 

当用回归线从x预测y时，实际值与预测值之间的差异叫预测误差。而均方根误差就是预测误差的均方根。它度量回归预测的精确程度。y关于x的回归线的均方根误差用下面的公式进行计算:

 

由公式可以看出，当r越接近1或-1时，点越聚集在回归线附近，均方根误差越小；反之r越接近0时，点越分散，均方根误差越大。

 

 

最小二乘法寻找一条直线来拟合所有的点，使得这条直线到所有的点之间的均方根误差最小。可以看到，当求两个变量之间的关系时，最小二乘法求出的直线实际上就是回归线。只不过表述的侧重点不同：

1、最小二乘法强调求出所有点的最佳拟合直线。

2、回归线则是在SD线的基础上求出的线，表示了样本中已知变量x的情况下变量y的平均值。

 

由以上可知，一个散点图可以用五个统计量来描述：

1、所有点x值的平均数，描述了所有点在x轴上的中心点。

2、所有点x值的SD,描述了所有点距离x中心点的散度。

3、所有点y值的平均数，描述了所有点在y轴上的中心点。

4、所有点y值的SD,描述了所有点距离y中心点的散度。

5、相关系数r，基于标准单位，描述了所有点x值和y值之间的关系。

相关系数r将平均值、标准差、回归线这几个概念联系起来：

1、r描述了相对于标准差，点沿SD线的群集程度。

2、r说明了y的平均数如何的依赖于x --- x每增加1个x标准差，平均来说，y将只增加r个y标准差。

3、r通过均方根误差公式，确定了回归预测的精确度。

 

 

注意：以上相关系数、回归线、最小二乘法的计算要在以下两个条件下才能成立：

1、x、y两组样本数据是线性的，如果不是线性的先要做转换。

2、被研究的两组样本数据之间的关系必须有意义。