计数 组合数学动态规划总结

Posted 2020-07-31

本文持续更新

对计数，组合数学DP作总结，给出思路，状态转移方程，略去代码，状态初始值等。

 

1 划分数

　　m个不可区分的物品分成n份,每份的数量大于等于0，求划分的方法数。

　　思路：

　　若m < n, 则等价于m个物品划分为m份。

　　否则，若至少存在1份数量为0，则相当于m个物品划分为n - 1份;若每份数量大于等于1，则相当于m - n个物品划分为n份。动态规划或记忆化搜索。

 

2 HDU1502 Regular Words

　　给定n,求n个A,n个B,n个C组成的串的任意前缀中A的数量大于等于B的数量，B的数量大于等于C的数量的方法数，类似于卡特兰数。

　　dp[i][j][k]表示A, B, C分别i, j, k个时的方法数，则：

　　dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k] + dp[i][j - 1][k] + dp[i][j][k - 1](i >= j >= k)

 

3 HDU1133 Buy the Ticket

　　m个人手持50元，n个人手持100元，买50元一张的票，售票员开始无零钱，求可行的排队方法数。

　　

方法1:

　　抽象为m个1，n个-1的序列，前k(k <= m + n)项和大于等于0的方法数乘以m! * n!。

　　dp[i][j]表示m个1，n个-1的序列，前k(k <= m + n)项和大于等于0的方法数，则:

　　dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1](i >= j)

 

方法2:

　　思路来自:http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/08/122676.html，并给出证明

　　m个1，n个-1的序列，前k(k <= m + n)项和大于等于0的方法数等于C(m+n, n) - C(m+n, m+1)，证明如下：

　　A为m个1，n个-1且不符合条件的序列数集合，B为m + 1个1，n - 1个-1的任意序列数集合。

　　(1)将A中任意序列的第一个不符合条件的-1变为1,可得到B中一元素，且A中不同元素得到B中不同元素，故A包含于B

　　(2)将B中任意序列的第一个1变为-1,可得到A中一元素，且B中不同元素得到A中不同元素，故B包含于A

　　综上，集合A,B大小相等。故m个1，n个-1且不符合条件的序列数个数为C(m+n, m+1)。又任意序列方法数为C(m+n, n)，故符合条件的为C(m+n, n) - C(m+n, m+1)。

 

 

更新中…………