快速质因数分解及素性测试&ABC142D

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了快速质因数分解及素性测试&ABC142D相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

首先,这个整数的标准分解非常的显然易见对吧:

技术图片

 

 

 一般我们要把一个数分解成这个样子我们可以这样写:

 1 #include<cstdio>
 2 int p[105],w[105],k;
 3 void factorize(int n)
 4 
 5     for(int i=2;i*i<=n;i++)
 6         if(n%i==0)
 7         
 8             p[++k]=i;
 9             while(n%i==0)
10                 n/=i,w[k]++;
11         
12     if(n!=1)
13         p[++k]=n,w[k]=1;
14 
15 int main()
16 
17     int n;
18     scanf("%d",&n);
19     factorize(n);
20     for(int i=1;i<k;i++)
21         printf("%d^%d*",p[i],w[i]);
22     printf("%d^%d",p[k],w[k]);
23 

由于是分解质数,而且质数除了2之外都是奇数,所以可以在枚举i的时候每次i+=2

例题:ABC142D(手边没有什么好题了,只是因为最近做到了它2333)

要找互质的公因数,就相当于找最大公因数的最多互质的因数。(这个表述...相信你们能懂

 

之前写一直T了,于是找了另外一种方法,后面才发现之前的哪里有问题

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<map>
 4 using namespace std;
 5 #define N 100005
 6 #define ll long long
 7 #define MOD 1000000007
 8 ll x,y;
 9 map<ll,bool> vis;
10 ll p[N];
11 int pn;
12 ll gcd(ll a,ll b)
13 
14     if(b==0) return a;
15     else return gcd(b,a%b);
16 
17 int main()
18 
19     scanf("%lld %lld",&x,&y);
20     ll d=gcd(x,y);
21     int ans=1;
22     if(d%2==0) ans++;
23     while(d%2==0)
24         d/=2;
25     for(ll i=3;i*i<=d;i+=2)//写成i<=d/i就可以不开ll 否则不开ll就会乘爆 然后T掉 
26         if(d%i==0)
27         
28             ans++;
29             while(d%i==0)
30                 d/=i;
31         
32     if(d!=1) ans++;
33     printf("%d\\n",ans);
34     return 0;
35 

就是我注释的那个地方,要注意那样的BUG了

最后采用了这种写法:

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<map>
 4 #include<vector>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 #define N 100005
 8 #define ll long long
 9 #define MOD 1000000007
10 ll x,y;
11 map<ll,bool> vis;
12 ll p[N];
13 int pn;
14 vector<ll>st;
15 ll gcd(ll a,ll b)
16 
17     if(b==0) return a;
18     else return gcd(b,a%b);
19 
20 bool is_prime(ll x)
21 
22     if(x==1) return 0;
23     if(x==2||x==3) return 1;
24     if(x%6!=1&&x%6!=5) return 0;
25     int s=sqrt(x);
26     for(int i=5;i<=s;i+=6)
27         if(x%i==0||x%(i+2)==0)
28             return 0;
29     return 1;
30 
31 int solve(ll n)
32 
33     int ans=1;
34     if(n==1) return 1;
35     ll i=0;
36     while(i<n)
37     
38         if(is_prime(n))
39         
40             st.push_back(n);
41             if(vis[n]==0)ans++;
42             vis[n]=1;
43             return ans;
44         
45         for(int i=2;i<n;i++)
46         
47             if(n%i==0)
48             
49                 st.push_back(i);
50                 if(vis[i]==0)ans++;
51                 vis[i]=1;
52                 n/=i;
53                 break;
54             
55         
56     
57     st.push_back(n);
58     if(vis[n]==0)ans++;
59     vis[n]=1;
60     return ans;
61 
62 int main()
63 
64     scanf("%lld %lld",&x,&y);
65     ll d=gcd(x,y);
66     printf("%d\\n",solve(d));
67     return 0;
68 

其实感觉和上面的做法差不多,直接看也就能看懂,但是网上据说是$n^1/4$的复杂度,那么还是了解一下,也没有什么坏处。(对于这道题来说其实不需要存因数的啦)

关于is_prime的素数判断,还是说一下吧。

如果不加这个判断,那么在$n$变成一个很大的质数的时候,这个算法就会退化到$O(n)$级别。

 

对于每一个$>=5$的数可以表示为$6x-1$(也相当于$6x+5$),$6x$,$6x+1$,$6x+2$,$6x+3$,$6x+4$,$6x+5$中的一种。

而$6x$,$6x+2=2(3x+1)$,$6x+3=3(x+1)$,$6x+4=2(3x+2)$,都不可能是素数。

所以我们对于一个数n,直接先判断它模$6$是否余$5$或余$1$,不是的话直接返回false

但是是的话也不一定是素数,还要再判断一下。

每个数都能进行质因数分解,所以我们只要判断用它除前面的素数能否除尽就可以了.

$6x+1$,$6x+5$这样的数显然不可能除的尽$2$和$3$,所以我们从$5$开始判断。

下一个除以$7$,按照上面的讨论,下一个为$11$和$13$。

网上有人说,以此类推,可以把步长增加到$6$来加快运行速度。

不知道怎么证明,但是验证了一下是对的。(怎么感觉好水...)

 


 

 

莫名其妙地就干完了这篇博客。

写得好水呀。

嘤嘤嘤我在干什么。

以上是关于快速质因数分解及素性测试&ABC142D的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

质因数分解(唯一分解定理)

Pollard-rho的质因数分解

codevs3164 质因数分解

素数测试的最快算法[关闭]

算法---分解质因数

算法---分解质因数