算法---分解质因数

Posted 2022-11-25 yarsnwoing

算法—分解质因数

定义
质因数（或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。
例子
1没有质因子。
5只有1个质因子，5本身。（5是质数。）
6的质因子是2和3。(6 = 2 × 3)
2、4、8、16等只有1个质因子：2（2是质数，4 = 2，8 = 2，如此类推。）
10有2个质因子：2和5。(10 = 2 × 5)
就是一个数的约数，并且是质数，比如8=2×2×2，2就是8的质因数。12=2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。16=2×2×2×2,2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数。[1]

分解质因数的有两种表示方法，除了大家最常用知道的“短除分解法”之外，还有一种方法就是“塔形分解法”。
分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助，同时又为求最大公约数和最小公倍数做了重要的铺垫。

短除法
求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫短除法，和除法的性质差不多，还可以用来求多个个数的公因式：

分解质因数代码：
将一个正整数分解质因数。例如：输入90,打印出90=2*3*3*5。
程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成：
(1)如果这个质数恰等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。
(2)如果n>=k，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商,作为新的正整数你n,
　重复执行第一步。
(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值,重复执行第一步。

01  #include "stdio.h"
02  #include "conio.h"
03  main()
04  
05    int n,i;
06    printf("\\nplease input a number:\\n");
07    scanf("%d",&n);
08    printf("%d=",n);
09    for(i=2;i<=n;i++)
10      while(n!=i)
11      //外部循环求唯一因数，内部循环求一个因数的多个复本
12        if(n%i==0)
13        
14          printf("%d*",i);
15          n=n/i;
16        
17        else
18          break;
19      
20    printf("%d",n);
21    getch();
22  

另一种形式：

01  //返回质因数数组 
02  Integer[] decPrime(int n)  
03      List<Integer> list = new ArrayList<Integer>(); 
04      for (int i=2;i <= n;i++) 
05          while(n != i) 
06              if(n%i != 0) 
07                  break;//不能整除肯定不是因数，能够整除在这里一定是质数。因为所有的2，3,5,7 
08                        //都被除完之后。剩下的因数只能是奇数，且是质数。 
09               
10              list.add(Integer.valueOf(i)); 
11              n = n/i; 
12           
13       
14      list.add(Integer.valueOf(n)); 
15      return list.toArray(new Integer[list.size()]); 
16  

类似方法：

// 质因数.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。  
//  

#include "stdafx.h"  
#include<cmath>  
#include<cstdlib>  
#include<iostream>  
using namespace std;  

void Analyse(int n)  
  
    //打印出  
    int i;  
    for(i = 2;i <= sqrt(static_cast<double>(n));i++)  
      
        if(n % i == 0)  
          
            n = n/i;  
            cout<<i<<"*";  
            i--;  //相当于重复执行
          
      
    cout<<n<<endl;  

  
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])  
  
    int n;  
    cin>>n;  
    cout<<n<<" = ";  
    Analyse(n);  
    return 0;  

// 质因数.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。  

#include "stdafx.h"  
#include<cmath>  
#include<cstdlib>  
#include<iostream>  
using namespace std;  

void Analyse(int n)  
  
    //首先输出等式左边部分  
    cout<<n<<" = ";  

    //对n进行质因数分解，应先找到一个最小的质数2  
    //如果这个质数恰好等于2，则说明分解质因素的过程结束，打印  
    if(n == 2)  
      
        cout<<n<<endl;  
      
    //n小于2时，无法进行质因素分解，提示相应信息  
    else if(n < 2)  
      
        cout<<"该数不可以分解质因素"<<endl;  
      
    else  
      
        //如果n>=k,但n能被k整数，则打印出k的值  
        for(int i = 2;i <= sqrt(static_cast<double>(n));i++)  
          
            if(n % i == 0)  
              
                n = n/i;  
                cout<<i<<"*";  
                //重复执行上一步  
                i--;  
              
            //cout<<n<<endl;  
          
        cout<<n<<endl;  
      
  
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])  
  
    int n;  
    cin>>n;  
    //cout<<n<<endl;  
    Analyse(n);  
    return 0;  
  

复杂度 如果n<2^10 ，这种情况下试除法通常都是很有效的。但是如果用来分解更大的整数，试除法就变得非常低效甚至不可用了。这种算法的复杂度是随着n的增加呈指数级别增长的。

（

试除法是整数分解算法中最简单和最容易理解的算法。

给定一个合数n（这里，n是待分解的整数），试除法看成是用小于等于的每个素数去试除待分解的整数。如果找到一个数能够整除除尽，这个数就是待分解整数的因子。

).