动态规划 0-1背包问题

Posted 2022-12-15 tuilinengshou

1、多阶段决策问题

（1）物品无限的背包 问题

比较原来的硬币问题发现，只是增加了一个重量属性，从而由原来的无权图变成了带权图，这样问题就变成了求以C为起点（终点任意）的、边权之和最大的路径，相对的

d(s)=max(d(s-v[i])+1)变为d(s)=max(d(s-v[i])+w[i])。

（2）0-1背包问题

状态及其转移类似于回溯法中的解答树，解答树的层数，也就是递归函数中的当前填充位置cur，描述的是即将完成的决策序号，在动态规划中称为阶段。

设d(i,j)表示当前在第i层，背包剩余容量为j时接下来的最大重量和，d(i,j)=maxd(i+1,j),d(i+1,j-v[i])+w[i]，边界是i>n时，d=0。简单来说d(i,j)表示把第i，i+1，，，n个物品撞到容量为

j的背包中的最大总重量。

for(int i=n;i>=1;i--)
    for(int j=0;j<=C;j++)
    
        d[i][j]=(i==n?0:d[i+1][j]);
        if(j>=v[i]) d[i][j]>?=d[i+1][j-v[i]]+w[i];

2、规划方向

还可以对称定义：f(i,j)表示把前i个物品装到容量为j的背包中的最大总重量。

f(i,j)=maxf(i-1,j),f(i-1,j-v[i])+w[i]，最终答案f(n,C)

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=C;j++)
    
        f[i][j]=(i==0?0:f[i-1][j]);
        if(j>=v[i]) f[i][j] >?=f[i-1][j-v[i]]+w[i];

3、滚动数组

memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++)

    scanf("%d%d",&v,&w);
    for(int j=C;j>=0;j--) 
        if(j>=v) f[j] >?=f[j-v]+w;

在递推法中，如计算顺序很特殊，且计算新状态用到的原状态不多，可以尝试滚动数组。但是会让解的打印方案变得复杂。如要求字典序最小的打印方案，则慎用滚动数组，且规划方向也一般用后i个物品最大重量的规划方向。