动态规划，0/1背包，完全背包

Posted 2021-03-06 void-lambda

动态规划

动态规划问题的一般形式就是求最值。
求解动态规划的核心问题是穷举。
动态规划的穷举有点特别，因为这类问题存在「重叠子问题」，如果暴力穷举的话效率会极其低下，所以需要「备忘录」或者「DP table」来优化穷举过程，避免不必要的计算。
而且，动态规划问题一定会具备「最优子结构」，才能通过子问题的最值得到原问题的最值。
关键就是状态转移方程，写出正确的状态转移方程，才能正确地枚举。
解决问题步骤：
明确「状态」 -> 定义 dp 数组/函数的含义 -> 明确「选择」（做出选择改变当前状态-> 明确 base case。

0/1背包问题

描述：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用（即体积，下同）是w[i]，价值是val[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

思路：

用动态规划的思路，阶段就是“物品的件数”，状态就是“背包剩下的容量”，那么很显然f [ i , v ] 就设为从前 i 件物品中选择放入容量为 v?的背包最大的价值。那么状态转移方程为：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+val[i] }。

这个方程可以如下解释：只考虑子问题“将前 i 个物品放入容量为 v 的背包中的最大价值”那么考虑如果不放入 i ，最大价值就和 i 无关，就是 f[ i - 1 ][ v ] ,?如果放入第 i 个物品，价值就是 f[ i - 1][ v - w[i] ] + val[ i ]，我们只需取最大值即可。

优化：

上述状态表示，我们需要用二维数组，但事实上我们只需要一维的滚动数组就可以递推出最终答案。考虑到用f[ v ]来保存每层递归的值，由于我们求f[ i ][ v ] 的时候需要用到的是f[ i-1 ][ v] 和 f[ i-1 ][v - w[i] ] 于是可以知道，只要我们在求f[ v ]时不覆盖f[ v - w[i] ]，那么就可以不断递推至所求答案。所以我们采取倒序循环，即v = m（m为背包总容积）伪代码如下：

　　for i = 1..N

　　　for v = V..0

　　　　　f[ v ] = max{ f[ v ],f[ v-w[i] ]+val[ i ] };

完全背包问题

描述：

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是w[i]，价值是val[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

思路：

完全背包问题与0/1背包问题不同之处在于其每个物品是无限的，从每种物品的角度考虑，与它相关的策略就变成了取0件、1件、2件...。我们可以根据0/1背包的思路，对状态转移方程进行改进，令f[i][v]表示前 i 种物品恰放入一个容量为 v 的背包的最大权值。状态转移方程就变成了：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??f[?i?][ v ] = max{ f[ i-1 ][ v-k*w[i] ] + kval[?i?]? | 0 <= kw[i] <=? v}。

我们通过对0/1背包的思路加以改进，就得到了完全背包的一种解法，这种解法时间复杂度为O（n^3），空间复杂度为O（n^2）。

时间优化：

根据上述f[ i ][ v?]的定义，其为前 i 种物品恰好放入容量为 v 的背包的最大权值。根据上述状态转移方程可知，我们假设的是子结果f[ i-1 ][ v-k*w[i] ]中并没有选入第 i 种物品，所以我们需要逆序遍历（像0/1背包一样）来确保该前提；但是我们现在考虑“加选一件第 i 种物品”这种策略时，正需要一个可能已经选入第 i 种物品的子结果f[ i ][ v-w[i] ]，于是当我们顺序遍历时，就刚好达到该要求。这种做法，使我们省去了一层循环，即第 i 种物品放入的件数k，从而时间复杂度优化为O（n^2）。

空间优化：

正如0/1背包的空间优化，上述状态转移方程已经优化为：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-w[i]]+val[i]}

将这个方程用一维数组实现，便得到了如下伪代码：

for i?= 1..N

　　　for v = 0..V

　　　　 f[v] = max{f[v],f[v-w[i]] + val[ i?] };