Kick Start 2019 Round A Parcels

Posted 2022-12-14 patt

题目大意

$R \\times C$ 的网格，格子间的距离取曼哈顿距离。有些格子是邮局。现在可以把至多一个不是邮局的格子变成邮局，问每个格子到最近的邮局的曼哈顿距离的最大值最小是多少。

数据范围

• $ 1 \\le R \\le 250 $
• $ 1 \\le C \\le 250 $
• 100 组测试数据
• Time limit: 15 s

分析

显然可以二分答案。

几何视角

考虑平面上的整点（也称格点）。到一个格点的曼哈顿距离不大于 $k$ 的所有格点的轮廓是一个旋转了 45° 的正方形（ For any point, the set of points within a manhattan distance of K form a square rotated by 45 degrees.），或者叫菱形。

考虑所有离现有邮局的最短距离大于 $k$ 的格点，简称「未覆盖点」，每个未覆盖点都关联着一个上一段所说的菱形。如果所有菱形的交集不为空，那么只要从交集中取一点作为新邮局即可。

这个方法的困难在于两个菱形的交集并不好计算。不过我们可以通过坐标变换，把原本的菱形变成正方形。正方形的交集是容易计算的。
这个变换在算法竞赛界称为曼哈顿距离转切比雪夫距离。

对于平面上两点 $ (x_1, y_1) $，$ (x_2, y_2) $；二者的契比雪夫距离定义为 $\\max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|)$ 。

对应的坐标变换是 $(x, y) \\longleftrightarrow (x + y, x - y)$ 。

代数视角

上述坐标变换的根源是曼哈顿距离的定义：

两点 $ (x_1, y_1) $，$ (x_2, y_2) $ 的曼哈顿距离无非是下述四个值中最大者

$ (x_1 - x_2) + (y_1 - y_2) $
$ (x_1 - x_2) + (y_2 - y_1) $
$ (x_2 - x_1) + (y_1 - y_2) $
$ (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1) $
亦即
$(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2)$
$(x_1 - y_1) - (x_2 - y_2) $
$(x_2 - y_2) - (x_1 - y_1) $
$(x_2 + y_2) - (x_1 + y_1)$
四者中的最大值。

于是有
\\beginequation
|x_1 - y_1 | + |y_1 - y_2| = \\max(|(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2)|, |(x_1 - y_1) - (x_2 - y_2)|) \\labelE:1
\\endequation

利用 \\eqrefE:1 式，我们可以从代数视角（而非几何视角）来解决这个问题。

不妨把新邮局的坐标视作 $(x_2, y_2)$，把现有邮局尚不能覆盖的点的坐标视作 $(x_1, y_1)$ 。

问题转化为
是否存在点 $(x_2, y_2)$，满足当 $(x_1, y_1)$ 取遍未覆盖点，\\eqrefE:1 的值始终不超过 $k$，换言之 \\eqrefE:1 的最大值不小于 $k$ 。

注意到，当 \\eqrefE:1 取最大值时，$x_1 + y_1$，$x_1 - y_1$ 必取最值（即取最大值或最小值）。

因此我们可以先遍历未覆盖点 $(x_1, y_1)$，算出 $x_1 + y_1$，$x_1 - y_1$ 的最值，再枚举所有可能的新邮局 $(x_2, y_2)$，求 \\eqrefE:1 式的最大值，进行判断。