[Bzoj1597][Usaco2008 Mar]土地购买

Posted 2022-11-18 sainsist

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因为题目说可以分组，并且是求最值，所以斜率优化应该是可以搞的，现在要想怎么排序使得相邻的数在一个组中最优。

我们按照宽w从小到大，高h从小到大排序。这时发现可以筛掉一些一定没有贡献的土地，什么样的土地没有贡献呢？这样的：h[i]<=h[j],w[i]<=w[j]，此时i没有贡献。

所以排序并筛掉无用的土地后，剩余的土地是按照$w[i]<  w[j]< w[k] $ $h[i]> h[j]>h[k]$ (i<j<k)。

这时候我们的最优分组一定是选择连续的为一组。因为如果i和k一组，j一组，则此时的花费是$h[i]*w[k]+h[j]*w[j]$

而选择i,j,k一组，则花费为$h[i]*w[k]$

所以此时有$O(n^2)$的dp：

dp[i]为前i块土地的最少花费，$dp[i]=max(dp[i],dp[j]+h[j+1]*w[i])$。

但是复杂度不允许QAQ

所以推式子：

设$k<j<i$，且i从j转移比从k转移更优。

$dp[j]+h[j+1]*w[i]\leq dp[k]+h[k+1]*w[i]$

$dp[j]-dp[k]\leq (h[k+1]-h[j+1])*w[i]$

$\tfracdp[j]-dp[k]h[k+1]-h[j+1]\leq w[i]$

$\tfracdp[j]-dp[k]h[j+1]-h[k+1]\geq- w[i]$

将$(h[j+1],dp[j]),(h[k+1],dp[k])$看成二维平面的点，因为k<j&&h[k+1]>h[j+1]，所以点集应该是从左往右。

维护一个单调队列，如果当前点为i，队首为l，则如果l没有l+1到i更优，则队首出队。当前最优点为队首。同时还要维护队尾。

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int maxn = 5e4 + 100;
 5 struct node 
 6     ll w, h;
 7 a[maxn], b[maxn];
 8 bool cmp(node x, node y) 
 9     return x.w == y.w ? x.h < y.h : x.w < y.w;
10 
11 ll dp[maxn]; int q[maxn];
12 ll check1(int j, int k) 
13     return dp[j] - dp[k];
14 
15 ll check2(int j, int k) 
16     return b[j + 1].h - b[k + 1].h;
17 
18 int main() 
19     int n, cnt = 0;
20     scanf("%d", &n);
21     for (int i = 1; i <= n; i++)
22         scanf("%lld%lld", &a[i].w, &a[i].h);
23     sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
24     for (int i = 1; i <= n; i++) 
25         while (cnt != 0 && b[cnt].h <= a[i].h)
26             cnt--;
27         b[++cnt] = a[i];
28     
29     int l = 0, r = 0;
30     for (int i = 1; i <= cnt; i++) 
31         while (l < r && check1(q[l], q[l + 1]) >= -b[i].w * check2(q[l], q[l + 1]))
32             l++;
33         dp[i] = dp[q[l]] + b[q[l] + 1].h * b[i].w;
34         while (l < r && check1(q[r - 1], q[r]) * check2(q[r], i) <= check1(q[r], i) * check2(q[r - 1], q[r]))
35             r--;
36         q[++r] = i;
37     
38     printf("%lld\n", dp[cnt]);
39