Uva11762 Race to 1——有向无环图&&记忆化搜索
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Uva11762 Race to 1——有向无环图&&记忆化搜索相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题意
给出一个整数 $N$,每次可以在不超过 $N$ 的素数中等概率随机选择一个 $P$,如果 $P$ 是 $N$ 的约数,则把 $N$ 变成 $N/P$,否则 $N$ 不变。问平均情况下需要多少次随机选择,才能把 $N$ 变成1呢?
分析
本题可以画出一个状态转移图,
例如 $n=6$ 时,
$n$ 的每个约数都对应一个状态,每个状态转移都有一定概率,从每个状态出发转移的概率和为1.
设 $f(i)$ 表示当前的数为 $i$ 时接下来需要选择的期望次数,可列出方程:
$$f(6) = 1 + f(6)/3 + f(3)/3 + f(2)/3$$
一般地,设不超过 $x$ 的素数有 $p(x)$ 个,其中有 $g(x)$ 个是 $x$ 的因子,则
$$f(x) = 1 + f(x) \\times [1 - \\fracg(x)p(x)] + \\sum_x | y \\fracf(x/y)p(x)$$
即
$$f(x) = \\frac\\sum _x|yf(x/y) + p(x)g(x)$$
边界为 $f(1)=0$,因为 $x/y < x$(即形成的是有向无环图),可以用记忆化搜索的方式 计算 $f(x)$,否则就要用高斯消元了。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; //返回n以内素数的个数 //埃氏筛法O(nloglogn) const int maxn = 1000000 + 10; int prime[maxn]; //prime[i]表示第i个素数 bool is_prime[maxn + 1]; //is_prime[i]为true表示i是素数 int prime_cnt; int sieve(int n) int cnt = 0; for (int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = true; is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (long long i = 2; i <= n; i++) if (is_prime[i]) prime[cnt++] = i; for (long long j = i * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false; //i * i可能爆int return cnt; bool vis[maxn]; double f[maxn]; double dp(int x) //printf("x: %d\\n", x); if(vis[x]) return f[x]; if(x == 1) return 0.0; vis[x] = 1; double& ans = f[x]; int g = 0, p = 0; //累加g[x] 和 p[x] ans = 0; for(int i = 0;i <prime_cnt && prime[i] <= x; i++) p++; if(x % prime[i] == 0) g++; ans += dp(x / prime[i]); ans = (ans + p) / g; return ans; int n; int main() prime_cnt = sieve(1000000); int T, kase = 0; scanf("%d", &T); while(T--) scanf("%d", &n); printf("Case %d: %.8f\\n", ++kase, dp(n)); return 0;
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