递归算法的时间复杂度

Posted 2022-09-23

递归算法应该都不陌生，其实最开始遇见递归应该是在数学课上，类似于f(x)=f(x-1)+f(x+1)，f(1)=1，f(2)=4，f(3)=3这种数学题大家应该见过不少，其实思想就是层层递归，最终将目标值用f(1)，f(2)，f(3)表示。

之前做了一个需求，需要实现类似操作系统文件夹的功能，我们用mysql数据库记录数据，表字段有4列，分别是id，index_name，pid，is_directory，index_name记录文件或文件的名字，pid记录它的父级id，is_directory标记它是文件还是文件夹。

记录被存下以后，就涉及到取数据的问题了，我们前端需要的目标数据结构是这样的：

["id":1,"name":"./","id":2,"name":"./1.txt",
"id":3,"name":"./dir1/",
"id":4,"name":"./dir1/2.txt",...]

有点类似linux系统的tree命令。

第一版代码是这样的：

tree = []
def getTree(pid):
              return
for index in childIndexes:
 if len(tree) == 0:
   if index.is_directory==1                            tree.append(
‘id‘:index.id,‘name‘:‘./‘+index.index_name+‘/‘)                     
getTree(index.id)
                     else:                            
tree.append(
‘id‘:index.id,‘name‘:‘/‘+index.index_name)
              else: 
                    for item in tree:  
if item[‘id‘] == index.id
                                   if item.is_directory==1:                                          tree.append(‘id‘:index.id,‘name‘: 
item[‘name‘]+index.index_name+‘/‘)    
                               else:  
                                        tree.append
(
‘id‘:index.id,‘name‘:item[‘name‘]+index.index_name

)

大概看一下这个算法的时间复杂度，第一层的遍历时间复杂度是n，第二层遍历的时间复杂度是n，内层的时间复杂度是O（n^2），再加上递归，最后的时间复杂度是O（2^n*n^2），这个算法可见很粗糙，假如递归深度到是100，最后执行效率简直会让人头皮发麻。接下来我们考虑一下如何优化。

第二版代码：

tree = []
def getTree(pid,path=‘./‘):
              return
       for index in childIndexes:
             if len(tree) == 0: 
                    if index.is_directory==1                            tree.append(‘id‘:index.id,
‘name‘:path+index.index_name+‘/‘) 
                           getTree(index.id, 
path+index.index_name+‘/‘)
                    else:
                           tree.append(‘id‘:index.id,
‘name‘:path+index.index_name) 
             else: 
                    if item.is_directory==1:                            tree.append(‘id‘:index.id,
‘name‘:path+index.index_name+‘/‘)
                     else: 
                           tree.append(‘id‘:index.id,
‘name‘:path+index.index_name)

我们用变量保存每一次的path，这次我们看看时间复杂度是多少。第一层遍历时间复杂度是O(n)，加上递归，最后的时间复杂度是O(2^n*n)，不算太理想，最起码比第一次好点。

再看看一个面试的常见的题目，斐波拉契数列，n=1,1,3,5,8,13...，求第n位是多少？

一看首先就想到了递归的方式：

def fibSquence(n):     
  if n in (1,2):       
   return 
   fibSquence(n-1)+ fibSquence(n-2)

这个算法的时间复杂度是O(2^n)，关于时间复杂度具体看调用次数便能明白。我们考虑一下如何优化，比如求n=3是，需要先求n=2,n=1，但是最开始n=1,n=2已经求过，多了两步重复计算。

下面是优化的代码：

fibMap = 1:1,2:2
def fibSquence(n):
       else:
        result = fibSquence(n-1)+ fibSquence(n-2)              fibMap.update(n:result)
              return result

我们用map报存中间值，map是基于hash实现的，时间复杂度是O(1)，这样这个算法的时间复杂度就是O(n)。

但是事实上这个问题大可不必用递归方式求解。

fibMap = 1:1,2:2
def fibSquence(n):
       else:
              for i in range(3,n+1): 
                    fibMap.update(i:fibMap[i-1]+fibMap[i-2])
              return fibMap[n]

这样我们只用一次遍历，便可以求出目标值。

递归算法的优化大概就是避免重复运算，将中金状态保存起来，以便下次使用，从结构上来看，是将时间复杂度转换为空间复杂度来解决。递归算法的效率其实是非常低的，能不用递归就尽量不用递归；当然了也要具体问题具体对待，比如说开始提到我做的项目遇到的问题，不用递归我还真想不出其他更好的方式解决。

作者：杨轶

来源：宜信技术学院