以下递归算法的时间复杂度是多少？

Posted 2023-02-19

【中文标题】以下递归算法的时间复杂度是多少？

【英文标题】：What will be the time complexity of following recursive algorithm?

【发布时间】：2019-05-08 20:53:44

【问题描述】：

以下递归算法的复杂度是多少？

void rec(n)
 if(n<=0)
    return;
 else
    rec(n/3)+rec(n/2); 

【问题讨论】：

它没完没了？ n怎么会变成负数或零？

@StrangerintheQ：如果是整数，非常容易（1/2 在我知道的大多数语言中产生零）。如果浮动，将需要更多；如果双倍，则更长（例如1/1e1000 通常为零）。遇到麻烦的唯一方法是，如果有理数以弹性整数作为提名和分母（如 Ruby 的 Rational）。

【参考方案1】：

上述程序的时间复杂度为O(2 ^ k)，其中k为递归深度。 在这里，2 源于这样一个事实，即在每个递归调用中，我们都在调用另外两个递归调用。现在，让我们分析最深的递归深度 (k)。

在上图中，每一步除以 2 的递归路径将需要更长的时间才能达到小于 1 的值（这是基本情况），因此它将是最深的递归深度。因为，每次我们将n 除以2。它将采取日志步骤达到少于1。虽然我们也将n 除以3。将n 除以2 将花费更长的时间，因此是最深递归深度的决定因素。详情：

在 1st 调用中，我们将 n 减少 n / 2。 在 2nd 调用中，我们将 n 减少 (n / 2) / 2 = n / 4 = n / 2^2. 因此，在Kth 步骤中，我们减少了 n 由：n / 2^k = 1。 所以，n = 2 ^ k。

两边取log base 2，

log2 n = log2 (2^k) log2 n = k log2(2) log2 n = k * 1 [因为 log2(2) 是 1 ]

因此，在最深的递归深度中，我们需要k = log(n) 步才能达到 n = 1，再多一步才能达到 n log3 n 到 @ 之间987654338@.

因此，在最坏的情况下，总体时间复杂度为O(2 ^ log n)。但是，由于我们还将n 除以3，因此从顶部到叶节点的所有递归路径深度都不会与log n 相同。因此，我们可以得出时间复杂度为O(2 ^ k)，其中 k 是递归深度。