[SCOI2008]配对

Posted 2022-09-04 ak-dream

【题目描述】
你有\\(n\\)个整数\\(A_i\\)和\\(n\\)个整数\\(B_i\\)。你需要把它们配对，即每个\\(A_i\\)恰好对应一 个\\(B_i\\)。要求所有配对的整数差的绝对值之和尽量小，但不允许两个相同的数配对。例如\\(A=5,6,8，B=5,7,8\\)，则最优配对方案是\\(5\\)配\\(8\\), \\(6\\)配\\(5\\), \\(8\\)配\\(7\\)，配对整数的差的绝对值分别为\\(2, 2, 1\\)，和为\\(5\\)。注意，\\(5\\)配\\(5\\)，\\(6\\)配\\(7\\)，\\(8\\)配\\(8\\)是不允许的，因 为相同的数不许配对。

【输入格式】
第一行为一个正整数\\(n\\)，接下来是\\(n\\)行，每行两个整数\\(A_i\\)和\\(B_i\\)，保证所有\\(A_i\\)各不相同，\\(B_i\\)也各不相同。

【输出格式】
输出一个整数，即配对整数的差的绝对值之和的最小值。如果无法配对，输出\\(-1\\)。

【数据范围】
\\(1 \\le n \\le 10^5\\)，\\(A_i\\)和\\(B_i\\)均为\\(1\\)到\\(10^6\\)之间的整数。

关于此题
没想到吧！又是DP

首先 先对\\(A,B\\)数组进行排序。如果没有限制条件的话,明显最优解就是排序后的每个A[i]和每个B[i]配对。
加上限制条件之后
对于某个位置\\(i\\)
\\(1.\\)如果\\(A[i-1] = B[i-1]\\) 那么我们可以让\\(A[i-1]\\)和\\(B[i]\\)配对，让\\(A[i]\\)和\\(B[i-1]\\)配对。
\\(2.\\)如果\\(A[i-1] = B[i-1]\\) 且 \\(A[i-2] = B[i-2]\\) 那就可以让\\(A[i-2], B[i-1]\\)，\\(A[i-1], B[i]\\), \\(A[i], B[i-2]\\) 分别配对
或是让\\(A[i-2], B[i]\\)，\\(A[i-1], B[i-2]\\), \\(A[i], B[i-1]\\) 分别配对
\\(3.\\)如果有更多连续相等的，都可以把它们转化成上面的两种情况进行处理，不需要再分开考虑

得到转移方程为
\\(dp[i] = min(dp[i-1] + calc(A[i], B[i]), dp[i-2] + calc(A[i-1], B[i]) + calc(A[i], B[i-1]), dp[i-3] + calc(A[i-2], B[i-1]) + calc(A[i-1], b[i]) + calc(A[i], b[i-2]), dp[i-3] + calc(A[i-2], B[i]) + calc(A[i-1], b[i-2]) + calc(A[i], b[i-1]))\\);
\\(calc(x, y)\\)在\\(x = y\\)时返回无穷大。

【代码】

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n, a[100005], b[100005], dp[100005];

inline ll _abs(ll x) 
    return x < 0 ? -x : x;


inline ll calc(ll a, ll b) 
    if (a == b) return inf;
    else return _abs(a - b);


int main() 
    scanf("%lld", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        scanf("%lld %lld", &a[i], &b[i]);
    
    sort(a + 1, a + n + 1);
    sort(b + 1, b + n + 1);
    dp[1] = calc(a[1], b[1]);
    dp[2] = min(dp[1] + calc(a[2], b[2]), calc(a[1], b[2]) + calc(a[2], b[1]));
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        dp[i] = inf;
        dp[i] = min(dp[i], dp[i-1] + calc(a[i], b[i]));
        dp[i] = min(dp[i], dp[i-2] + calc(a[i-1], b[i]) + calc(a[i], b[i-1]));
        dp[i] = min(dp[i], dp[i-3] + min(calc(a[i-2], b[i-1]) + calc(a[i-1], b[i]) + calc(a[i], b[i-2]), calc(a[i-2], b[i]) + calc(a[i-1], b[i-2]) + calc(a[i], b[i-1])));
    
    if (dp[n] >= inf) puts("-1");
    else printf("%lld\\n", dp[n]);
    return 0;