dp优化总结

Posted 2022-09-01 sillytiet

dp优化总结

一、滚动数组

典型的空间优化。

这应该是最最普通的一个优化了吧。。

对于某些状态转移第i个只需要用到第i-1个状态时，就可以用滚动数组，把第一维用0/1表示。

拓展1：

当一个状态转移要用到前m个转移时，我们依然可以滚起来，把第一维按模m的值滚起来。

拓展2：

若每一个决策可以选任意次（在一定限度下），那么我们可以借鉴完全背包的思路，把决策一个一个累计起来，起到优化时间的作用。（例题：NOIP2013 飞扬的小鸟）

二、数据结构优化

1.单调队列

如果一个转移方程模型大致如下：

\\(dp[i]=max\\dp[i-1],dp[i-2],\\cdots ,dp[i-m]\\\\)

如果我们枚举m，显然这会非常浪费时间，那么我们可以把这m个值压入到一个单调队列中，每次弹出最大值，这样就可以做到\\(O(1)\\)更新。

2.线段树/树状数组

如果一个转移方程模型大致如下：

\\(dp[i]=max\\dp[j]\\j \\in [i-L_i,i-1]\\)其中，每个 \\(L_i\\) 不一定相同，那么显然单调队列就无法做到这点了，于是我们就需要用到线段树来维护\\(dp\\)数组的最大值，可以做到\\(O(log n)\\)更新。

当然，如果题目需要，我们还可以在线段树增加区间更新操作。（例题：ZJOI2010 基站选址 解析）

三、决策单调性优化

如果一个转移方程模型大致如下：

\\(dp[i]=max\\dp[i-1],dp[i-2],\\cdots,dp[i-m]\\\\)且\\(dp\\)数组中的值呈现单调性，那么我们可以直接在\\(O(1)\\)的时间内找出最值，进行更新。（这个跟单调队列有点类似）（例题：牛客网2019 Day4 T2 卖羊驼 解析）

拓展1：斜率优化

拓展2：排序优化

如果某个状态值与物品放置顺序无关，只与其内部的某些值有关，当这些值涉及到两个或以上时，如果直接存入状态中，显然会MLE，同时可能还会TLE

那么，我们可以将物品按照某个值排个序，这样对于该值，决策时就会具有单调性，于是状态就可以少很多（例题：SHOI2006 书柜的尺寸 解析）