HDU3507：Print Article（斜率优化dp）

Posted 2020-11-11 heyuhhh

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题意：
现有\(n\)个数，每个数的值为\(a_i\),现在可以把数划分为多段，每一段的代价为\((\sum_{k=i}^{j}c_i)^2+M\)。
问怎么划分，代价最小。

思路：
考虑dp，那么dp式子很简单：
\[ dp(i)=min\{dp(j)+(S_i-S_j)^2+M\} \]
注意这种\(dp\)形式，后面加上的部分与\(i,j\)两个变量有关，这种一般可以考虑分离变量然后斜率dp优化。
(PS.如果可以分为多个部分，每个部分只和一个有关，那么可以考虑单调队列优化。from进阶指南)
那么就尝试写成直线形式：
\[ dp_j+S_j^2=2S_iS_j+dp_i-S_i^2-M \]

这里我们以\((S_j,dp_j+S_j^2)\)为一个点，然后用队列维护一个下凸壳就行了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 500005, MOD = 1e9 + 7;
int n, m;
ll sum[N], dp[N];
int a[N], q[N];
int main() {
#ifdef heyuhhh
    freopen("input.in", "r", stdin);
#else
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0);
#endif
    while(cin >> n >> m) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
        dp[0] = 0;
        int l = 1, r = 1;
        q[1] = 0;
        auto f = [&](int i) {
            return dp[i] + sum[i] * sum[i];
        };
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            while(l < r && f(q[l + 1]) - f(q[l]) <= 2 * sum[i] * (sum[q[l + 1]] - sum[q[l]])) ++l;
            dp[i] = dp[q[l]] + (sum[i] - sum[q[l]]) * (sum[i] - sum[q[l]]) + m;
            while(l < r && (f(i) - f(q[r])) * (sum[q[r]] - sum[q[r - 1]]) <= (f(q[r]) - f(q[r - 1])) * (sum[i] - sum[q[r]])) --r;
            q[++r] = i;
        }
        cout << dp[n] << '\n';
    }
    return 0;
}