RMQ问题模板
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了RMQ问题模板相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
概念
RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写,表示区间最大(最小)值。
解决 RMQ 问题的主要方法有两种,分别是 ST 表和线段树。本文主要讲 ST 表。
ST表
$ST$ 表,即 $Sparse-Table$ 算法,它预处理的时间是 $O(nlogn)$,但是查询时间只需要 $O(1)$,且常数非常小。但是不支持修改操作。最重要的是,这个算法非常好写,并且不容易出错。
$ST$ 表是基于倍增思想,令 $d(i, j)$ 表示从 $i$ 开始的,长度为 $2^j$的一段元素中的最小值,则可以用推递的方式计算 $d(i, j)$:$d(i, j) = max\d(i,j-1), d(i + 2^j-1, j-1) \$,$f[i][0] = a[i]$,即把待查询区间平均分成了两部分。
注意 $2^j \leq n$,因此 $d$ 数组中的元素个数不超过 $n log n$,而每一项都可以在常数时间内计算完成,故总时间为 $O(n log n)$。
ST表模板题
题目描述:给定一个长度为 $N$ 的数列,和 $M$ 次查询,求出每次查询的区间内数字的最大值。
分析:由于时限很紧,需要预处理log,将每次查询的复杂度从 $O(logn)$ 降至 $O(1)$.
代码:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int logn = 21; //log n const int maxn = 2*100000 + 10; int a[maxn], f[maxn][logn], Logn[maxn]; int n, m; //n个元素,m次查询 inline int read() char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<‘0‘||c>‘9‘)if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar(); while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘)x=x*10+c-‘0‘;c=getchar(); return x*f; void pre() Logn[1] = 0; Logn[2] = 1; for(int i = 3;i < maxn;i++) Logn[i] = Logn[i/2] + 1; void RMQ_init() pre(); for(int j = 1;j <= logn;j++) for(int i = 1;i + (1 << j) - 1 <= n;i++) f[i][j] = max(f[i][j-1], f[i + (1 << (j-1))][j-1]); int RMQ(int L, int R) int s = Logn[R - L + 1]; return max(f[L][s], f[R - (1 << s) + 1][s]); int main() n = read(); m = read(); for(int i = 1;i <= n;i++) f[i][0] = read(); RMQ_init(); for(int i = 0;i < m;i++) int x, y; x = read(); y = read(); printf("%d\n", RMQ(x, y)); return 0;
注意:
- 输入输出数据一般很多,建议开启输入输出优化
- 每次用 std::log 重新计算 log 函数值并不值得,建议采用递推式预处理 $log$
参考链接:https://oi-wiki.org/ds/sparse-table/#__comments
以上是关于RMQ问题模板的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章