P2120 [ZJOI2007] 仓库建设（斜率优化DP)

Posted 2022-05-26 1625--h

题意：\(1\sim N\) 号工厂，第\(i\) 个工厂有\(P_i\)个成品，第\(i\)个工厂建立仓库需要\(C_i\)的费用，该工厂距离第一个工厂的距离为\(X_i\)，编号小的工厂只能往编号大的工厂搬用成品，每单位成品搬每单位距离需要花费1，问所有成品搬到工厂里面所需的最少费用是多少

分析
设\(f[i]\) 为第 i 个工厂建立仓库，前 i 个工厂的成品都搬到仓库中的最小花费，则容易得到动态转移方程:
\[f[i] = min(f[j] + P_j+1(X_i-X_j+1) + P_j+2(X_i-X_j+2)+\cdots + P_i-1(X_i-X_i-1))+C_i\]

通式为
\[f[i]=min(f[j]+\sum_k=j+1^i-1P_k\cdot X_i-\sum_k=j+1^i-1P_k\cdot X_k)+C_i\]

令 \(s[i] = \sum_1^i P[i], ~~g[i] = \sum_1^iP_i\cdot X_i\),
则方程变为
\[f[i] = min(f[j] + X_i\cdot (s[i-1]-s[j])-(g[i-1]-g[j]))+C_i\]

则对于最优决策 \(j\) ，有

\[f[j]+g[j]=X_i\cdot s[j]+f[i]-X_i\cdot s[i-1]-C_i\]

也就是要找 \(y = kx+b\)，\(k\)已知，找一对\(x,y\)使得截距最小
由于\(X[i]\)是随\(i\)递增的，所以要维护的决策集的斜率也是递增的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6+10;
typedef long long ll;
ll C[N],P[N],X[N],f[N],s[N],g[N];
int n;
int q[N],l,r;
long double slope(int i,int j)
    return (long double)((f[i]+g[i]) - (f[j]+g[j]))/(s[i]-s[j]);

int main()
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld%lld",&X[i],&P[i],&C[i]);
        s[i] = s[i-1] + P[i];
        g[i] = g[i-1] + P[i] * X[i];
    
    l = r = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        while(l < r && slope(q[l],q[l+1]) <= X[i])l++;
        int j = q[l];
        f[i] = f[j] + (s[i-1] - s[j]) * X[i] - g[i-1] + g[j] + C[i];
        while(l < r && slope(q[r-1],q[r]) > slope(q[r-1],i))r--;
        q[++r] = i;
    
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;