线性基基础

Posted 2022-05-25 lfri

介绍

基是线性代数中的一个概念，而在现行OI中，通常利用基在异或空间的一些特殊性质来解决问题，而这类问题涉及的知识被称为【线性基】

异或运算下的基：

对于数 $a_0, a_1,..., a_n$ 将 $a_i$ 的二进制表示成 $(b_0,b_1,...b_n)_2$ 可看作一个向量，异或运算下的基就是 $(a_0, a_1, ... a_n)$ 中的极大线性无关组。

设 $V$ 是 $(a_1, a_2,...,a_n)$ 构成的空间，求 $V$ 的基。初始化 $\alpha = (a_0, a_1, ...a_n)$.

1. 若 $a_1=0$，则从 $\alpha$ 中去掉 $a_1$；否则保持 $\alpha$ 不变
2. 若 $a_2 \in V(a_1)$，则从 $\alpha$ 中去掉 $a_2$；否则保持 $\alpha$ 不变
3. 若 $a_j\in V(a_1,a_2,...,a_j-1)$，则从 $\alpha$ 中去掉 $a_j$；否则保持 $\alpha$ 不变

如何判断一个向量是否已经属于线性空间，可以利用高斯消元，判断 $a_j$ 能否表示成 $a_1,a_2,...,a_j-1$ 的线性组合。

插入

令插入的数为 $x$，考虑 $x$ 的二进制最高位 $i$:

• 若线性基的第 $i$ 位为0，则直接在该为插入 $x$，推出；
• 若线性基的第 $i$ 位已经有了值 $a_i$，则 $x = x \bigoplus a_i$，重复以上操作直到 $x=0$

如果退出时 $x=0$，则此时线性基已经能表示原先的 $x$ 了；反之，则说明为了表示 $x$，往线性基中加入了新的元素。

很容易证明这样的复杂度为 $O(\log_2n)$（即二进制的位数），也可以通过这种方法判断能否通过原数列异或得到一个数 $x$.

 

判断

例题

洛谷P3812

题意：给定n个整数（数字可能重复），求在这些数中选取任意个，使得他们的异或和最大。（$1 \leq n \leq 50, 0\leq a_i \leq 2^50$）