线性基小结

Posted 2021-02-20 hn-wrp

用处

没用我学这东西干嘛

• 快速查询一个数是否可以被一堆数异或出来
• 快速查询一堆数可以异或出来的最大/最小值
• 快速查询一堆数可以异或出来的第k大值

这么点？
还有点性质在下面 可能有点用

性质

• 原数列里的任何一个数都可以通过线性基里的数异或表示出来
• 线性基里任意一个子集的异或和都不为(0)
• 一个数列可能有多个线性基，但是线性基里数的数量一定唯一，而且是满足性质一的基础上最少的

原理&实现

由于我想写简单一点，直接对代码写，所以真正的关于线性代数的那一部分就没写了 妄图掩盖自己不会的事实

约定

以下(p[i])表示原序列的线性基数组。

构造

先贴代码
把一个数插入线性基：

inline void ins(LL x) {
	for(R int i=62;i>=0;i--)
		if(x&(1LL<<i)) {
			if(!p[i]) { p[i]=x,cnt++; break; }
			else x^=p[i];
		}
}

人话描述：

• 从高位到低位进行。
• 如果(x_{(2)})第(i)位为(1)，判断(p[i])是否插入，没有就插入并且退出，否则就异或上(p[i])去进行下一位操作 。

那么，通过观察这个构造，我们再来感性理解线性基。

• 异或的一个小性质：$ x oplus y oplus y =x $。
• 性质一：观察插入过程，如果没有成功插入，对于(x_{(2)})的每一位，要不就是不存在，要不就是异或上(p[i])变成了(0)，那么最终(x)如果没有插入，那就意味着原有的线性基可以把它异或出来，它就没有插入的必要了。而更显然的，线性基中的数肯定是可以表示的。于是原序列中的每一个数都可以通过线性基表示出来。
• 性质二：假设出现了(p[1] oplus p[2]oplus p[3]=0),那就会有(p[1]oplus p[2]=p[3])，根据之前的定义，(p[3])是不会被插入的。所以也可以得出线性基的任意一个子集异或和都不为(0)，所以在之后求第(k)大的时候和一些别的时候，注意特判(0)。
• 性质三：考虑分类讨论
  • 当所有元素都可以插入线性基的时候，性质三显然成立
  • 设有一个元素(x)不能插入线性基，那就会有(x=0)或者是(p[a]oplus p[b]oplus p[c]=x)。显然当(x=0)的时候无论如何都不能插入线性基，而另一种情况则代表等式(p[a]oplus p[b]oplus x=p[c])也就是说如果先插入(x)，(p[c])就无法插入了，又因为观察插入过程的时候，每一个插入的数对应着一位，所以(x)与(p[c])相排斥只会影响一位上的问题，那也就代表着线性基里的数可能不同，但是总数肯定是一定的。

于是我们初步理解了线性基

查询一个元素是否可以被异或出来

从高到低，如果这一位为(1)就异或上这一位的线性基，把(1)消去，根据性质一，如果最后得到了(0)，那这个数就可以表示出来。

inline int ask(LL x) {
	for(R int i=62;i>=0;i--) 
		if(x&(1LL<<i)) x^=p[i];
	return x==0;
}

查询异或最大值

按位贪心即可。

inline LL askmx() {
	LL ans=0;
	for(R int i=62;i>=0;i--)
		if((ans^p[i])>ans) ans^=p[i];
	return ans;
}

查询异或最小值

其实异或的最小值一般来说就是线性基里的最小元素，因为插入这个元素的时候我们总是尽量让它的高位为(0)才来插入这一位。但是为什么是“一般”呢？因为有可能会有出现(0)，得要在插入的时候记下个标记来特判才行。

inline LL askmn() {
	if(zero) return 0;
	for(R int i=0;i<=62;i++)
		if(p[i]) return p[i];
}

查询异或第(k)小

这个东东我感觉实现还是有那么点点复杂的哈。
首先考虑，要是每一位的选择都不会影响下一位的话，那就可以直接从高到低按位去选择就行了，就类似于二叉树求(rank)的玩法。但是我们之前建出来的线性基是没有这个性质的。比如(p[3]=101_{2},p[0]=1_{2})的时候就炸了。所以我们考虑重构一个数组(d)来解决这个问题。先上代码：

inline void rebuild() {
	cnt=0;top=0;
	for(R int i=MB;i>=0;i--)
		for(R int j=i-1;j>=0;j--)
			if(p[i]&(1LL<<j)) p[i]^=p[j];
	for(R int i=0;i<=MB;i++) if(p[i]) d[cnt++]=p[i];
}

那么这是在干啥呢，就是在尽力把每个(p[i])只留下第(i)位的(1)，从而使得各个位之间互不影响，也就是说它的理想效果如下：
(p[0] ~0~0~0~0~1)
(p[1] ~0~0~0~1~0)
(p[2] ~0~0~1~0~0)
(p[3] ~0~1~0~0~0)
(p[4] ~1~0~0~0~0)
但有时候并不能达到这个样子，可能会出现如下情况：
(p[0] ~0~0~0~0~1)
(p[1] ~0~0~0~0~0)
(p[2] ~0~0~1~0~0)
(p[3] ~0~1~0~0~0)
(p[4] ~1~0~0~1~0)
但是这个时候我们注意到，我们的目的已经达到了，互不影响的任务已经达成了，显然此时为(0)的(p)值不会对排名有任何影响，不用管它了。把信息导入到(d)数组后，查询(k)小代码不难写出：

inline LL kth(int k) {
	if(k>=(1LL<<cnt)) return -1;
	LL ans=0;
	for(R int i=MB;i>=0;i--)
		if(k&(1LL<<i)) ans^=d[i];
	return ans; 
}

其实我个人觉得这个代码还得要自己理解一下。
背板子也行
但是这样其实还不太对，因为我们并没有考虑(0)的情况，所以还要去考虑一下(0)的情况，特判即可。

printf("%lld
",tmp-zero?kth(tmp-zero):0LL);

于是线性基的基本操作就结束啦！

习题

1. Luogu P3812 线性基
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2. Luogu P3857 [TJOI2008]彩灯
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3. Luogu P4301 [CQOI2013]新Nim游戏
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4. Luogu P4570 [BJWC2011]元素
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5. HDU 3949 XOR
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EX

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