最小生成树-Kruskal算法

Posted 2022-05-21 ygsworld

与Prim算法贪心选择不同，Kruskal算法采取每次选择权值最小的边的方法，这样，在不构成环且最后能够连接完所有边它们的权重和一定是最小的。

和之前Prim算法的图一样，便于区别二者。

Kruskal既然是选择最小的边，那么就先找一个最小的出来，是1-6(10)

然后继续找出剩下的边中最小一条边，是3-4(12)

继续找一条最小的出来，2-7(14)

在来，为了区别已经选择的点，我把点的颜色也做个标记，有颜色的表示为已经加入生成树的点

喔，忘了把最小的边2-3(16)选了

现在图变成了这样，（依旧难看).......

还没找完，继续找最小的边..是7-4(18)

你会发现我把这条边用蓝色标记了，是不是我为了好玩？？当然不是了，这条边是有问题的。

这条边虽然是上一次选择完后剩下的边中最短的，但是，它的左右两个点已经是最小生成树的结点了，而把这条边加入后，构成了右边的一个大大的环。这样显然不是最小生成树了.

再复习下，生成树:一个连通图的生成树，是一个极小连通子图，其中包含图的所有结点，和构成一棵数的(n-1)条边。如果在一棵生成树的两个结点上添加任意一边，必定构成一个环。

最小生成树：图的所有生成树中所有边的权值和最小的那个生成树。

所以，有环的连生成树都不是了，怎么会是最小生成树。。

所以，这条边7-4(18)丢掉丢掉，重新选择。选择5-4(22)

好像图中所有的点都有颜色了，但是还没完全好，因为它们还不是一条绳上的蚂蚱，

继续选，最短的是6-5(25)

继续选 ，唉，不对，选了24发现又有环了，选28也构成环了。。。。在仔细一看，最小生成树已经生成了

即

这个就是Kruskal算法的流程。那么接下来说说代码。

 1 struct node
 2 
 3     int u;
 4     int v;
 5     int w;//边的权重
 6 Edge;
 7 void Kruskal(Graph g)//无向图g采用邻接矩阵
 8 
 9     Edge E[MAXN];//存放图中所有的边
10     int vest[MAXN];//辅助数组，存放连通的点的编号
11     k = 0;
12     for(int i = 0;i < g.n;i++)
13     
14         for(int j = 0; j <= i ;j++)
15         
16             if(g.egdes[i][j] != 0 &&g.egdes[i][j]!= INF)
17             //说明i到j边
18                 E.[k].u = i;
19                 E.[k].v = j;
20                 E.[k].w = g.edges[i][j];
21                 k++;
22             
23         
24     //以上将所有的边都加入到E数组中，肯定是不重复的
25     Sort(E);//对边集数组进行排序。
26     Init(vest);//将辅助数组初始化，即每个结点一开始都没有加入到最小生成树中，所以它们各自为一个阵营
27     j = 0;
28     Count = 0 ;
29     while(Count < g.n)//已经加入生成树的结点数小于图的结点数，表明生成树没生成完，
30     
31         u1 = E[j].u;
32         v1 = E[j].v;//选出最短的边
33         s1 = vest[u1];
34         s2 = vest[v1];//得到两个所在集合的编号，
35         if(s1 != s2)//如果它们编号不等，，说明它们还每加入到同一个生成树中，
36         
37             //这里可以打印它们的编号 。。。
38             k++;
39             for(int i = 0; i< g.n;i++)
40             
41                 if(vest[i]==s2)
42                 
43                     vest[i] = s1;//把属于s2的那个点加入到s1所在点集合中
44                 //即合并到一起去，表明它们在一个生成树中了，这样就和
45                 //其他没有加入到的点区分开了
46             
47         
48         j++;//继续找下一条边
49     
50 

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这个代码没有写全，因为这样用的次数少的可怜了。都用它的升级版了

首先，针对排序的问题，排序随你选，接下来就是判断是否构成环的问题了。这里用并查集轻易的实现

 1 #include<iostream>
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<vector>
 6 #include<stack>
 7 #include<map>
 8 #include<set>
 9 #include<list>
10 #include<queue>
11 #include<string>
12 #include<algorithm>
13 #include<iomanip>
14 using namespace std;
15 const int maxn = 100;
16 int par[maxn];
17 int rank[maxn];
18 int n;
19 int m;
20 
21 struct node
22 
23     int Start;
24     int End;
25     int weight;
26 edges[maxn];
27 
28 int cmp(node a,node b)//按权值从小到大排序
29 
30     return a.weight < b.weight;
31 
32 
33 void Init(int n)//par初始化为自己
34 
35     for(int i = 1;i <= n;i++)
36     
37         par[i] = i;
38     
39 
40 int  Find(int x)//找出父亲结点
41 
42     if(x != par[x])return x =Find(par[x]);
43     return x;
44 
45 
46 int  Kruskal()
47 
48     int sum = 0;
49     for(int i = 1;i <= m ;i++)
50     
51         int a = Find(edges[i].Start);
52         int b = Find(edges[i].End);
53         if(a != b)//父亲结点不同
54         
55             sum += edges[i].weight;//一般求最小生成树的长度，这里就没去掉
56             par[a] = b;//合并集合
57         
58     
59     return sum;
60 
61 
62 int main()
63 
64     
65     cin>>n>>m;
66     Init(n);
67     for(int i = 1;i <= m;i++)
68     
69         cin>>edges[i].Start>>edges[i].End>>edges[i].weight;
70     
71     sort(edges+1,edges+1+n,cmp); 
72     cout<<Kruskal();
73     return 0;
74 

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