DFS排队

Posted 2022-04-11 hualian

描述

小Q是班长。在校运动会上，小Q班要进行队列表演。小Q要选出2*N名同学编队，每人都被编上一个号，每一个从1到N的自然数都被某2名同学佩戴，现在要求将他们排成一列，使两个编号为1的同学中间恰好夹1名同学，两个编号为2的同学中间恰好夹2名同学，……，两个编号为N的同学中间恰好夹N名同学，小Q希望知道这样的排法能否实现。

输入

输入文件仅包括一行，即要处理的N。N<=13

输出

输出有多少种排列顺序.

输入样例1

3

输出样例1

2

解题思路

　　咳咳，首先，这道题就是典型的DFS，只能搜索，然而我们每次的编号都是两个人中靠前的人，比较方便。然后这道题有两个注意的地方

　　　　1.搜索时要控制上限，我们从一开始枚举位置，一直到2*n太浪费时间，所以我们要用2*n-编号-1，这样的话才保证这个编号对应的人不会超出队列。

　　　　2.当我们发现n mod 4=1或者2时，程序会运行的很慢，并且没有解，所以我们就应该注意到这种情况，下面是证明方法

　　　　　　设问题的一个可行解为a₁,a₂,……,a_n,其中a_i为标号为i的数字的位置，

　　　　　　这些数字它们对应数字的位置应该为a₁+1+1,a₂+2+1,……,a_n+n+1.这2N个整数a₁,a₂,……,a_n, a₁+1+1,a₂+2+1,……,a_n+n+1正是整数1,2,3，……,2N，因而     

　　　　　　a₁+a₂+…+a_n+(a₁+1+1)+(a₂+2+1)+…+(a_n+n+1)=（1+2N）*2N/2

　　　　　　2(a₁+a₂+an)+n(n+1)/2+n=2n(2n+1)/2

　　　　　　2(a₁+a₂+…+a_n)=(3n²-n)/2

　　　　　　4(a₁+a₂+…+a_n)=n(3n-1)

　　　　　　可见n(3n-1)应该为4的倍数，当n mod 4=0,1,2,3时，n(3n-1) mod 4分别为0,2,2,0，故n mod 4=1或2时，问题无解

题解

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int n,ans;
 4 bool mp[101];//队列 
 5 void dfs(int dep)
 6 
 7     if(dep==0)//搜索完了方案数+1 
 8     
 9         ans++;
10         return;
11     
12     for(int i=1;i<2*n-dep;i++)//控制上限 
13     
14         if(!mp[i]&&!mp[i+dep+1])//如果这个点没被放并且它对应的点也没放 
15         
16             mp[i]=mp[i+dep+1]=true;//我们就放它 
17             dfs(dep-1);//继续搜索 
18             mp[i]=mp[i+dep+1]=false;//回溯操作 
19         
20     
21 
22 int main()
23 
24     cin>>n;
25     if(n%4==1||n%4==2)//无解情况 
26     
27         cout<<0;
28         return 0;
29     
30     dfs(n);//从编号大的开始搜索 
31     cout<<ans;//输出方案数 
32