Dijkstra算法与堆（C++）

Posted 2022-04-09 jerry-fuyi

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Dijkstra算法与堆（C++）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

Dijkstra算法用于解决单源最短路径问题，通过逐个收录顶点来确保已收录顶点的路径长度为最短。

技术图片

图片来自陈越姥姥的数据结构课程：https://mooc.study.163.com/learn/1000033001?tid=1000044001#/learn/content?type=detail&id=1000112011&cid=1000126096

Dijkstra算法的时间复杂度，取决于“V=未收录顶点中dist最小者”的算法。这一步可以用线性查找实现，也可以用最小堆实现。

线性查找的算法就不用多说了。最小堆的算法有一个问题：最小堆是以未收录顶点的dist作为key来建立的，但是每一轮循环都会把部分顶点的dist值改变，也就会破坏最小堆的有序性，怎么解决？

显然应该在每一轮循环中把最小堆重新调整成有序。现在问题又来了：

1. 复杂度还合算吗？

建堆的时间复杂度是O(N)，pop一个元素的时间复杂度是O(logN)；线性查找的时间复杂度也是O(N)。建堆还额外使用了O(N)的空间。

看似一点都不合算。但我又想到每一轮循环中的建堆操作，很可能只需要调整少量元素，而对于其他元素，只需要进行访问。然而线性查找连调整都不需要，只有交换。再然而，循环过程中堆会变小，使建堆的时间复杂度中的常数变小。至于到底哪个更快，还得实践出真知。

所以只能从消除建堆操作入手。这样又是另一种算法了，参考资料[1]给出了详细说明，这种算法中每一轮的时间复杂度为O(logN)。

2. 如何利用STL进行堆操作？

STL <algorithm> 头文件提供了 std::is_heap 、 std::is_heap_until （这两个需要C++11）、 std::make_heap 、 std::push_heap 、 std::pop_heap 和 std::sort_heap 等函数模板用于堆操作。

现有一道单源最短路径的题：https://pintia.cn/problem-sets/994805342720868352/problems/994805523835109376，Dijkstra算法的变形而已。

以下为实现代码。三种算法用宏定义选择，已选择优先队列算法。

  1 #include <iostream>
  2 #include <limits>
  3 #include <vector>
  4 #include <queue>
  5 #include <algorithm>
  6 #include <utility>
  7 #include <functional>
  8 
  9 //#define LINEAR
 10 //#define HEAP
 11 #define QUEUE
 12 
 13 struct Path
 14 
 15     Path() = default;
 16     Path(int _city, int _dist)
 17         : city(_city), dist(_dist)
 18     
 19         ;
 20     
 21     int city;
 22     int dist;
 23     bool operator<(const Path& _rhs) const
 24     
 25         return dist < _rhs.dist;
 26     
 27     bool operator>(const Path& _rhs) const
 28     
 29         return dist > _rhs.dist;
 30     
 31 ;
 32 
 33 struct City
 34 
 35     std::vector<Path> paths;
 36     int team;
 37     int dist = std::numeric_limits<int>::max();
 38     bool collected = false;
 39     int team_max = 0;
 40     int dist_count = 0;
 41 ;
 42 
 43 #ifdef HEAP
 44 class Comparator
 45 
 46 public:
 47     Comparator(std::vector<City>& _cities)
 48         : cities_(&_cities)
 49     
 50         ;
 51     
 52     bool operator()(int _lhs, int _rhs)
 53     
 54         return (*cities_)[_lhs].dist > (*cities_)[_rhs].dist;
 55     
 56 private:
 57     std::vector<City>* cities_;
 58 ;
 59 #endif
 60 
 61 int main()
 62 
 63     int n, m, src, dst;
 64     std::cin >> n >> m >> src >> dst;
 65     std::vector<City> cities(n);
 66     for (auto& city : cities)
 67         std::cin >> city.team;
 68     for (int cnt = 0; cnt != m; ++cnt)
 69     
 70         int src, dst, dist;
 71         std::cin >> src >> dst >> dist;
 72         cities[src].paths.emplace_back(dst, dist);
 73         cities[dst].paths.emplace_back(src, dist);
 74     
 75 
 76     
 77         auto& city = cities[src];
 78         cities[src].collected = true;
 79         cities[src].dist = 0;
 80         cities[src].dist_count = 1;
 81         cities[src].team_max = cities[src].team;
 82     
 83 #ifdef QUEUE
 84     std::priority_queue<Path, std::vector<Path>, std::greater<Path>> queue;
 85 #endif
 86     for (const auto& path : cities[src].paths)
 87     
 88         cities[path.city].dist = path.dist;
 89         cities[path.city].dist_count = 1;
 90         cities[path.city].team_max = cities[src].team + cities[path.city].team;
 91 #ifdef QUEUE
 92         queue.emplace(path.city, path.dist);
 93 #endif
 94     
 95 
 96 #ifdef HEAP
 97     std::vector<int> heap;
 98     heap.reserve(n - 1);
 99     for (int i = 0; i != n; ++i)
100         if (i != src)
101             heap.push_back(i);
102     Comparator comp(cities);
103     std::make_heap(heap.begin(), heap.end(), comp);
104 #endif
105 
106     while (1)
107     
108 #ifdef LINEAR
109         int min_dist = std::numeric_limits<int>::max();
110         int index = -1;
111         for (int i = 0; i != n; ++i)
112             if (!cities[i].collected && cities[i].dist < min_dist)
113                 min_dist = cities[i].dist, index = i;
114         if (index == -1)
115             break;
116         auto& city = cities[index];
117 #endif
118 #ifdef HEAP
119         if (heap.empty())
120             break;
121         auto& city = cities[heap[0]];
122 #endif
123 #ifdef QUEUE
124         if (queue.empty())
125             break;
126         Path temp;
127         while (1)
128         
129             temp = queue.top();
130             queue.pop();
131             if (!cities[temp.city].collected)
132                 break;
133         
134         auto& city = cities[temp.city];
135 #endif
136         city.collected = true;
137         for (const auto& path : city.paths)
138         
139             if (!cities[path.city].collected)
140             
141                 auto& dest = cities[path.city];
142                 if (city.dist + path.dist < cities[path.city].dist)
143                 
144                     dest.dist = city.dist + path.dist;
145                     dest.dist_count = city.dist_count;
146                     dest.team_max = city.team_max + dest.team;
147                 
148                 else if (city.dist + path.dist == cities[path.city].dist)
149                 
150                     dest.dist = city.dist + path.dist;
151                     dest.dist_count += city.dist_count;
152                     if (city.team_max + dest.team > dest.team_max)
153                         dest.team_max = city.team_max + dest.team;
154                 
155 #ifdef QUEUE
156                 queue.emplace(path.city, dest.dist);
157 #endif
158             
159         
160 #ifdef LINEAR
161         if (index == dst)
162             break;
163 #endif
164 #ifdef HEAP
165         if (heap[0] == dst)
166             break;
167         std::pop_heap(heap.begin(), heap.end(), comp);
168         heap.pop_back();
169         std::make_heap(heap.begin(), heap.end(), comp);
170 #endif
171 #ifdef QUEUE
172         if (temp.city == dst)
173             break;
174 #endif
175     
176 
177     
178         auto& city = cities[dst];
179         std::cout << cities[dst].dist_count << ‘ ‘ << cities[dst].team_max;
180     
181 
182     return 0;
183