CF E2 - Daleks' Invasion (medium) （LCA求两点树上路径上的最大边权）

Posted 2022-03-26 shuaihui520

http://codeforces.com/contest/1184/problem/E2

题意：给出一副图，首先求出这幅图的最小生成树 ， 然后修改这幅图上不属于最小生成树的边权，使得修改后的图在求一边生成树的时候可以包含被修改的边（注意：修改的边权要最大 ）题目规定只有一课生成树

 

分析：

现在我们需要解决所有非树边的任务(MST保证是惟一的)。我们要求对于非树边(u, v)，正确答案是u和v之间路径上的最大权值MST。(证明:≤:由MSTs的循环特性可知;≥:如果(u, v)的重量大于这个最大值，然后用(u, v)交换获得最大值的边，会得到一个更便宜的树a矛盾。

所以现在我们的任务就是求任意两点在生成树上的路径最大边权。这题我们可以用LCA的思想去完成，我们现在预处理出了一条路上走过的最大值，那么答案所求mx=max(mx(u->w) , mx(v->w)) ;w为u，v的最近公共祖先，这里采用倍增法的思想去完成

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std ;
int n,m;
const int maxn = 1e6+3;
vector<pair<int,int> >G[maxn];
int pre[maxn],fa[maxn][19],dep[maxn],mx[maxn][19],ans[maxn];
struct no

    int id,u,v,w;
a[maxn];
bool cmp(no a , no b)

    return a.w<b.w;

int ffind(int x)

    if(pre[x]==x) return x;
    pre[x]=ffind(pre[x]);
    return pre[x];

void dfs(int u , int p)

    for(int i=0 ; i<G[u].size() ; i++)
    
        int v=G[u][i].first;
        if(p==v) continue;
        dep[v]=dep[u]+1;
        fa[v][0]=u;
        mx[v][0]=G[u][i].second;
        dfs(v,u);
    

int lca(int u , int v)

    if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    for(int i=0 ; i<18 ; i++)
    if((dep[v]-dep[u])&(1<<i)) v=fa[v][i];
    if(u==v) return u;
    for(int i=17 ; i>=0 ; i--)
    if(fa[u][i]!=fa[v][i]) u=fa[u][i],v=fa[v][i];
    return fa[u][0];

int ask(int u , int st)

    int ret=0;
    for(int i=0 ; i<18 ; i++)
    if(st&(1<<i)) ret=max(ret,mx[u][i]),u=fa[u][i];
    return ret;

int main()

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0 ; i<m ; i++)
    
        a[i].id=i;
        scanf("%d%d%d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].w);
    
    ///卡鲁思
    for(int i=1 ; i<=n ; i++) pre[i]=i;
    sort(a,a+m,cmp);
    for(int i=0 ; i<m ; i++)
    
        int u=ffind(a[i].u) , v=ffind(a[i].v);
        if(u!=v)
        
            pre[u]=v;
            ans[a[i].id]=-1;
            G[a[i].u].push_back(a[i].v,a[i].w);
            G[a[i].v].push_back(a[i].u,a[i].w);
        
    
    ///lca
    dep[1]=1; dfs(1,0);
    for(int i=1 ; i<18 ; i++)
    for(int j=1 ; j<=n ; j++)
    
        fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
        mx[j][i]=max(mx[j][i-1],mx[fa[j][i-1]][i-1]);
    
    for(int i=0 ; i<m ; i++)
    if(ans[a[i].id]!=-1)
    
        int u=a[i].u ,v=a[i].v , w=lca(u,v);
        ans[a[i].id]=max(ask(u,dep[u]-dep[w]),ask(v,dep[v]-dep[w]));
    
    for(int i=0 ; i<m ; i++)
    
        if(ans[i]!=-1)
        printf("%d ",ans[i]);
    

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