暑期学习日记二—利用扩展欧几里得求逆元

Posted 2022-03-12 xiangqi

最近学习了扩展欧几里得和乘法逆元的关系，在这里写一下巩固一下记忆

 

扩展欧几里得是什么呢，在这就不详解了，可以自行百度，主要来说，对于 求解ax ≡ 1(mod n)来说，当gcd(a,n)=1时，证明逆元存在，若不等于1，则证明逆元不存在。

那么当逆元存在时，我们要如何求它的逆元呢？

 

 

首先是扩展欧几里得定理，先将式子转换成 ax-ny = 1 的形式，然后我们要通过扩展欧几里得定律去获得它的最大公约数，还有它的一组解 X0,Y0

 1 int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
 2 
 3     if (b == 0)
 4     
 5         x = 1;
 6         y = 0;
 7         return a;
 8     
 9 
10     int mod = exgcd(b, a%b, x, y);
11     int tmp = x;
12     x = y;
13     y = tmp - (a / b)*y;
14     return mod;
15 

 

然后是判断

1 int Inverse_element(int a, int n)
2 
3     int gcd, x, y;
4     gcd = exgcd(a, n, x, y);
5     cout << x << endl;
6     if (gcd == 1)return (x%n + n) % n;
7     else return -1;
8 

 

当gcd == 1时 证明此方程有解，并且前面已经通过扩展欧几里得定理得出了它的一组解 X， 然后我们可以通过(x%n +n )%n 防止 x 是负数情况，保证是以正整数返回。

最后是整个代码，这样，一个简单的求逆元的程序就出来了：

 1 #include<iostream>
 2 #include<malloc.h>
 3 #include<string>
 4 #include<cmath>
 5 #include<conio.h>
 6 
 7 using namespace std;
 8 
 9 int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
10 
11     if (b == 0)
12     
13         x = 1;
14         y = 0;
15         return a;
16     
17 
18     int mod = exgcd(b, a%b, x, y);
19     int tmp = x;
20     x = y;
21     y = tmp - (a / b)*y;
22     return mod;
23 
24 
25 int Inverse_element(int a, int n)
26 
27     int gcd, x, y;
28     gcd = exgcd(a, n, x, y);
29     cout << x << endl;
30     if (gcd == 1)return (x%n + n) % n;
31     else return -1;
32 
33 
34 int main(int argc, const char * argv[])
35 
36     int a, n;
37     cin >> a >> n;
38     int mod = Inverse_element(a, n);
39     cout << mod <<endl;
40     _getch();
41     return 0;
42