从二叉树到2-3-4树再到红黑树
Posted leokale-zz
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了从二叉树到2-3-4树再到红黑树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
直接进入正题：
一、如何从数组生成一个二叉树
假设数组为： 30, 13, 7, 43, 23, 12, 9, 33, 42, 21, 18, 6, 3, 50 ，我们不对数组排序，直接生成二叉树。
创建流程：
1.将第一数作为根节点：
2.插入13,13小于30，放在30的左边子节点。
3.插入7,7小于30,7小于13，放在13的左边子节点。
4.插入43,43大于30，放在30的右边子节点。
5.放入23,23小于30,23大于13，放入13的右边子节点。
6.放入12,12小于30,12小于13,12大于7，放入7的右边子节点。
7.放入9,9小于30,9小于13,9大于7,9小于12，放入12的左边子节点。
8.中间省略，最后生成的二叉树为如下：
9.由上图可以看出，普通二叉树是不平衡的，最坏的情况可能会形成以下情况：
在这种情况下，当我们需要查找1的时候，时间复杂度就是O(n)。
普通二叉树的查找时间复杂度为[O(log2n)，O(n)]之间。如果让其始终保持为O(log2n)的时间复杂度呢，我们就要创建平衡二叉树。
2-3树和红黑树都是平衡二叉树，我们先看2-3树，然后再由2-3树引出红黑树的原理。
二、平衡二叉树 2-3树
2-3树的意思就是，某个节点有两种可能：
一是正常的2-节点，包含一个值（或键），包含左右两个子节点。二是3-节点，包含两个值，包含左中右三个子节点。
如图所示：
左边为2-节点，右边为3-节点。
向一个2-3树的节点中插入一个新的元素有以下几种基础操作：
1.插入一个比2-节点值小的元素，例如对值为30的2-节点插入20：
2.插入一个比2-节点值大的元素，例如对值为30的2-节点插入40：
3.插入一个比3-节点左边值更小的值，例如对值为20 30的3-节点插入15：
注意，这里对3-节点插入数据后，形成了一个4-节点，可以分解为最右边的二叉子树。
4.插入一个比3-节点左边值更大、比右边值更小的值，例如对值为20 30的3-节点插入25：
5.插入一个比3-节点右边值更大的值，例如对值为20 30的3-节点插入40：
6.当下面一层的元素形成了4-节点，将4-节点的中间数往上层升级（分左右方向）：
有了上述6个基本操作，我们开始使用前面的数组来创建2-3树：
数组为 30, 13, 7, 43, 23, 12, 9, 33, 42, 21, 18, 6, 3, 50 。
创建流程：
1.将30作为根节点。
2.插入13,13比30小，形成一个值为13 30的3-节点。
3.插入7,7比13小，形成一个值为7 13 30的4-节点，然后分解。
4.插入43,43大于13,43大于30，与30一起形成3-节点。
5.插入23,23大于13,23小于30，与30 43形成4-节点，然后分解。
6.插入12,12小于13,12大于7，与7组成3-节点
7.插入9,9小于13,9大于7,9小于12，与7 12组成4-节点，然后分解。分解后9升级到上一层，与13 30形成4-节点，再次分解。
8.插入33,33大于13,33大于30,33小于43，与43组成3-节点。
9.插入42,42大于13,42大于30,42大于33,42小于43，与33 43形成4-节点，然后分解。
10.省略后面过程，最终生成结果为：
至此，我们创建了一颗2-3树，可以看出2-3树的平衡性还是很好的。
得到2-3树以后，我们可以将其进行结构上的一些变化：
1.将其中的所有3-节点，变换为以下形状，以左边子树为例：
2.将所有的3-节点进行变换：
3.得到的就是一颗红黑树，所以2-3树和红黑树是可以一一对应的，但是需满足三个条件：
- 红链接均为左链接。
- 没有任何一个节点同时和两条红链接相连。
- 任意空链接到根节点路径上的黑色连接数目相同。
从图中可以看出，我们的红连接都是左链接，满足条件一。没有节点同时链接两条红线，满足条件二。每个叶子节点下得空链接到根节点30的路径中黑连接数量都是2，所以满足条件三。
三、红黑树
以上是关于从二叉树到2-3-4树再到红黑树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章