海明校验

Posted 2022-02-18 mayfly-nymph

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做了调整与补充

 

【定义】

     海明码（Hamming Code）是利用奇偶性来检错和纠错的校验方法。海明码的构成方法是在数据位之间的确定位置插入k个校验位，通过扩大吗距来实现检错和纠错。

对于数据位m的数据，加入k位的校验码,它应满足香农第二定理：n=m+k ≤ 2^k-1

说明：这里的m是指我们待编有效信息的位数，例如110101就是m=6，然后代入m，6+k ≤2^k-1得到m=6,k≥4（取最小值），这样组成10位海明校验码。

 

【例子】

     设数据为01101001，试采用校验位求其偶校验方式的海明码。

根据上面的公式得到，m=8,k≥4

（1）确定数据位D和校验位Ｐ在海明码中的位置：

由海明码编码规则可知： p_i在海明码的第2^i-1，比如P4=2^(4-1)=8，所以位于第8位

海明码H	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
校验位	P1	P2		P3				P4
数据位			D0		D1	D2	D3		D4	D5	D6	D7

（2）确定校验关系

         这个难点在于如何确定校验位组。

         举一个例子来说：H3=D0,海明码下标为3，我们必须用已知的校验位（P1,P2,P3,P4）来表示3，这里3就可以等于1+2。

 

          

       

比如P1 的校验位为表格中红色标记出来所对应的海明码的位数

（3）故：P1校验：P1,D0,D1,D3,D4,D6

 

P1=D0⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6=0⊕1⊕0⊕1⊕0=0

 

P2=D0⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6=0⊕1⊕0⊕0⊕0=1

 

P3=D1⊕D2⊕D3⊕D7=1⊕1⊕0⊕1=1

 

P4=D4⊕D5⊕D6⊕D7=1⊕0⊕0⊕1=0

　　

⊕符号：代表异或，相同则为0，不同则为1。只要仔细一定可以计算正确。

 

我们按照表格海明码的位置插入P1~P4到数据中，所以海明校验码：010111001001

 

（4）设置指错字G4,G3,G2,G1

G4=P4⊕D4⊕D5⊕D6⊕D7

 

G3=P3⊕D1⊕D2⊕D3⊕D7

 

G2=P2⊕D0⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6

 

G1=P1⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6

 

G1G2G3G4为0000，则数据传输没有错误。

 

以上面的数据传输为例子：

G4=0　　G3=0　　G2=0　　G1=0

 

若数据传输之后变成010111001000

则

G4=P4⊕D4⊕D5⊕D6⊕D7=0⊕1⊕0⊕0⊕0=1

 

G3=P3⊕D1⊕D2⊕D3⊕D7=1⊕1⊕1⊕0⊕0=1

 

G2=P2⊕D0⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6=1⊕0⊕1⊕0⊕0⊕0=0

 

G1=P1⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6=0⊕0⊕1⊕0⊕1⊕0=0

 

G4G3G2G1组成的二进制数为：1100，也就是12，说明第12位出现的错误

 

 

（5）海明校验缺点

1）海明校验的每一步还是使用的奇偶校验，因此当G中同时出现两个错误时，G1G2G3G4依然为0000，例如D1,D2出错，010100001001

G4=P4⊕D4⊕D5⊕D6⊕D7=0⊕1⊕0⊕0⊕0⊕1=0

 

G3=P3⊕D1⊕D2⊕D3⊕D7=1⊕0⊕0⊕0⊕1=0

 

G2=P2⊕D0⊕D2⊕D3⊕D5⊕D6=1⊕0⊕0⊕0⊕0⊕0=1

 

G1=P1⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6=0⊕0⊕0⊕1⊕0=1

 

2）同时，G4G5G6G1=0000不一定数据传输过程中就没有错误，只有当只有一位发生错误时，才能检测出来。

G1G2G3G4=0011,也就是第3位出现错误，很明显这是不准确的。