Bristol的第5篇密码学

Posted 2022-01-27 zhuowangy2k

52个密码学知识点

这是52个密码学知识点的第五篇。我们继续关于NP的复杂性理论部分。

上周,Ryan给我们介绍了P类复杂问题的定义:

• P 就是一类能被确定的图灵机在有限时间内判定的语言。

这周我们介绍另一个复杂类:

• NP就是一类能被非确定的图灵机在有限时间内判定的语言。

什么是非确定的图灵机(NDTM)?

NDTM就是一种转换函数有多个返回值的图灵机。(实际上这不是一个转换函数，我们可以叫它一个转换关系)因此NDTM对输入看起来就像一颗树。在每个分支节点上都提供了多个可能的值(子节点).NDTM接收这个输入当且仅当树中至少有一个分支的输入处于接收状态。这个定义从语言关系到决策到计算问题的方法和上周定义P的时候一样。

一些NP问题的例子

我们以一个简单的例子开始:路径查找。给一个有向图(n个节点) 是否有从点A到点B的路径。我们怎么在NP类中得到答案?好的，存在一个NDTM能解决它，十分简单，只要尝试所有的路线，只要有一个分支那么就有一个交叉点，如果一个分支到达了B那么该分支将终止于accept状态。任意一条分支在遍历n步之后自动结束并处于拒绝状态。(因为任何路径最多包含n-1条边，所以将检测到任何有效的路径，因此这台机器将正确的决定是否存在这样的一个路径)。

一个NP问题的重要的例子就是可满足行问题:

• SAT:给n个变量一个表达式，是否有一个变量的赋值能使得表达式为True?

例如，在表达式\((A\lor B )\land(A \lor \neg B)\)是可满足的。因为有一个合法的赋值\(A=B=True\)。注意:在标准形式中，这是个decision问题，即我们只需要知道存不存在，不需要找到。

所以有很多NP问题.NP问题的价值在哪?

首先，我们知道\(P \subseteq NP\) 因为DTM是一种NDTM(显而易见)。因此实际上我们的问题就是我们能不能找到一件我们能用NP做的问题但是我们没办法用P完成?这就是\(P=NP\)问题，这是一个开放问题。当然我们也发现了NP中已知但是P中未知的问题，也许在未来的研究中这些问题能被P解决。

很多有趣的密码系统(特别是在公钥中)都是基于计算问题是"困难"的假设而是安全的，这意味着至少与NP中的任何问题一样困难。也就是说，很多方案都是基于我们认为难的问题，如果你能创建一个算法来解决这些问题，你也可以用这个算法解决其他当前认为是难的问题。

Cook-Levin定理提供了一个有趣的证明思路。没有NP问题是比SAT难的(已经有证明了SAT是最难的NP问题，即NP完全问题)。这就是说如果我们有一个oracle(就是一个问询，一个有输入输出的算法)能解决SAT问题，通过问这个oracle几个被构造的问题，也可以解决任何其它NP问题。这让SAT成为了第一个NP完全问题的例子。因此为了证明问题X至少和解决NP问题一样难(NP难问题)，如果我们能解决X问题，那么我们就能解决SAT问题。