Bristol的第7篇密码学

Posted 2022-01-27 zhuowangy2k

密码学52件事

Number 7 随机性如何辅助计算和什么是BPP类问题?

这篇是密码学52件事中第7篇。我们只要把问题集中在BPP复杂类问题。

目前为止，我们已经介绍了一些复杂类:

• P 是一类能在多项式时间内被可确定的图灵机判定的问题。
• NP是一类能在多项式时间内被非确定的图灵机判定的问题。
• BPP是一类在多项式时间内被概率图灵机解出的问题，并且对所有的输入，输出结果有错误的概率在1/3之内。

概率图灵机

概率图灵机 [1] 是一类非确定的图灵机，这种图灵机在每个分支随机的选择，这种选择通过固定的随机分布。这种概率图灵机意味着每次输出的结果是不确定的。对于相同的输入，多次运行概率图灵机，得到的结果可能是接受的，也可能是拒绝的。这种图灵机的定义给出的几类问题的定义。RP，ZPP，和我们这次重要讨论的BPP。

BPP类复杂问题的一些概念

我们已经看到了这个BPP(Bounded-Error probabilistic polynomial time)的定义。注意这个错误概率能是在0到1/2之间的任何值，因为一个被叫做扩增定理(amplification lemma我们不会在这里讨论更多)。BPP类问题是包含P类问题的,P类问题是BPP类问题的特例。错误概率为0.现在提出一个问题\(BPP==P\)?现在我们知道的是BPP的问题在逐渐被转换为P类问题。

一个BPP类问题的例子

最著名的BPP类问题但是不是P类问题就是确定一个数字是否是素数 [2] 。然而在2002年已经被证明存在一个P类问题的算法了。另一个还没有被转换为P类问题的是polynomial identity testing [3]。

关于复杂性类的主题，仍然有许多非常重要的未回答的问题。其中一些问题如果得到解答，将对密码学和计算机科学的未来产生重大影响。

[1] - http://en.wikipedia.org/wiki/Probabilistic_Turing_machine

[2] - http://en.wikipedia.org/wiki/AKS_primality_test

[3] - http://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz%E2%80%93Zippel_lemma