数据结构与算法之图

Posted 2022-01-11 simpul

图

定义：图由边的集合及顶点的集合组成。顶点也有权重， 也称为成本。

如果一个图的顶点对是有序的， 则可以称之为有向图。在对有向图中的顶点对排序后， 便可以在两
个顶点之间绘制一个箭头。 有向图表明了顶点的流向。

如果图是无序的， 则称之为无序图， 或无向图。

图中的一系列顶点构成路径， 路径中所有的顶点都由边连接。 路径的长度用路径中第一个顶点到最后一个顶点之间边的数量表示。 由指向自身的顶点组成的路径称为环， 环的长度为 0。

圈是至少有一条边的路径， 且路径的第一个顶点和最后一个顶点相同。 无论是有向图还是无向图， 只要是没有重复边或重复顶点的圈， 就是一个简单圈。 除了第一个和最后一个顶点以外， 路径的其他顶点有重复的圈称为平凡圈。

如果两个顶点之间有路径， 那么这两个顶点就是强连通的， 反之亦然。 如果有向图的所有的顶点都是强连通的， 那么这个有向图也是强连通的。

表示顶点

用Vertex类表示节点，Vertex 类有两个数据成员： 一个用于标识顶点， 另一个是表明这个顶点是否被访问过的布尔值。它们分别被命名为 label 和 wasVisited。

function Vertex(label)
    this.label = label;

表示边

用邻接表或邻接表数组来表示边。数组的索引表示顶点，元素是一个数组，里面的成员是与该顶点相连的其他顶点。因此邻接表是一个二维的数组。

构建图与搜索图

搜索图分两种方式：深度优先和广度优先。

广度优先搜索算法：数据结构是队列。通过将顶点存入队列中，最先入队列的顶点先被探索。
深度优先搜索算法：数据结构是栈。通过将顶点存入栈中，沿着路径探索顶点，存在新的相邻顶点就去访问。

深度优先

深度优先搜索包括从一条路径的起始顶点开始追溯， 直到到达最后一个顶点， 然后回溯，继续追溯下一条路径， 直到到达最后的顶点， 如此往复， 直到没有路径为止。

思路：访问一个没有访问过的顶点， 将它标记为已访问， 再递归地去访问在初始顶点的邻接表中其他没有访问过的顶点。

广度优先

广度优先搜索从第一个顶点开始， 尝试访问尽可能靠近它的顶点。 本质上， 这种搜索在图上是逐层移动的， 首先检查最靠近第一个顶点的层， 再逐渐向下移动到离起始顶点最远的层。

用JS实现以上两种搜索方法：

// 创建图类
function Graph(v)
    this.vertices = v;  // 共有多少个节点
    this.edges = 0;  // 有多少条边
    this.adj = [];  // 邻接表数组
    for(var i = 0;i<this.vertices;i++)
        this.adj[i] = [];
    
    this.marked = [];  // 用于搜索
    for(var i = 0;i<this.vertices;i++)
        this.marked[i] = false;
    
    this.edgeTo = [];  // 用于广度优先搜索查找最短路径


Graph.prototype = 
    constructor: Graph,

    // 在两个顶点间画一条边
    addEdge(v, w)
        this.adj[v].push(w);
        this.adj[w].push(v);
        this.edges++;
    ,
    showGraph()
        for(var i = 0;i<this.vertices;i++)
            var str = '';
            for(var j = 0;j<this.vertices;j++)
                if(this.adj[i][j] !== undefined)
                    str += this.adj[i][j] + ' ';
                
            
            console.log(i + "-> " + str + '\n');
        
    ,

    // 深度优先搜索函数depth first searching，递归实现
    dfs(v)
        this.marked[v] = true;
        if(this.adj[v].length)
            console.log("Visited vertex: " + v);
            for(var w of this.adj[v])
                if(!this.marked[w])
                    this.dfs(w);
                
            
        
    ,

    // 广度优先搜索函数，无递归实现
    bfs(s)
        var queue = [];
        this.marked[s] = true;
        queue.push(s);
        while(queue.length > 0)
            var v = queue.shift();
            console.log("Visited vertex: " + v);
            for(var w of this.adj[v])
                if(!this.marked[w])
                    this.edgeTo[w] = v; 
                    this.marked[w] = true;
                    queue.push(w);
                
                                        
        
    

利用广度优先搜索方法查找最短路径（查找顶点1和顶点4之间的最短路径）：

需要再扩展一个方法，通过执行一次广度优先搜索后得到的edgeTo数组来找到1和4节点之间相互连接的节点：

Graph.prototype.pathTo = function(w, v)
    this.bfs(w);
    var source = w;  // 顶点w作为起点
    if(!this.hasPathTo(v))
        return undefined;
    
    var path = [];  // 保存路径，不过是从终点到起点的
    for(var i = v; i != source; i = this.edgeTo[i])
        path.push(i);
    
    path.push(source);
    return path;

Graph.prototype.hasPathTo(v)
    return this.marked[v];


var g = new Graph(6);
g.addEdge(0, 1);
g.addEdge(0, 2);
g.addEdge(1, 5);
g.addEdge(2, 3);
g.addEdge(3, 5);
g.addEdge(2, 4);
g.showGraph();
g.pathTo(4, 1);  // [1, 0, 2, 4]