在二进制数中，为什么会有原码反码补码

Posted 2022-01-04 maxwill-peng

由于二进制只有0和1两种数，因此在计算机中搭建运算电路时比十进制运算电路简单很多。

1、原码

  在n为字长的原码系统中，最左侧表示符号位，在计算机中，我们人为定义二级制负数最左侧为‘1’表示负值，二进制正数最左侧为‘0’表示正数。这样的n位字长源码系统能表示的数值范围为(-(2^n-1 -1)~(2^n-1 -1))

  例如，-3₁₀=1011₂   ,+6₁₀=0110₂  .；

  虽然此时计算机即可以表示正数也可以表示负数。但是带来了一个问题，让我们进行个简单的加法运算看看。

  6₁₀+(-3₁₀)=0110₂  +1011₂ =(1)0001₂  =17₁₀  ；

  6₁₀ +3₁₀ =0110₂ +0011₂  =1001₂ =(-1₁₀);

  计算错误，故原码不能直接做运算。为了解决此问题，就有了反码(1’s complement)和补码(2’s complement)。

2、补码

  在补码系统中，一个n位字长的正整数N的补码为本身且最左侧为0，但是一个n位字长负数-N的补码为N^*  且有如下定义：

  N^* =2ⁿ  -N

  例如，当-N=-5₁₀ =1101₂ ，它的补码N^*等于对应正数N=5₁₀ 参与下列运算，N^* =10000₂-0101₂ =1011₂ ；

   另一种计算n位字长负数补码的方法为最左侧符号位不变，其余位取反，然后最右侧加1。

  例如，-N=-5₁₀ =1101₂ ，N^* =1011₂  ；

 

 2.1补码的加法

  n位带符号的的二进制数的加法运算在补码系统中可以直接计算。加法中的运算过程就像所有数是正数一样，并且符号位产生的进位都需要忽略。以下n=4时不同情况出现的结果。

  1、两个正数相加，和小于2ⁿ  -1。

  3₁₀+4₁₀ =0011₂+0100₂ =0111₂ =7₁₀；（结果正确）

  2、两个正数相加，和大于2ⁿ  -1。

5₁₀+6₁₀=0101₂+0110₂ =1011₂  =11₁₀ >2³；（结果错误）

  两个n位带符号数进行运算时，结果范围为(-(2^n-1 -1)~(2^n-1 -1))，大于此结果，称为溢出。

  3、正数与负数相加，负数的绝对值较大。

5₁₀+(-6₁₀)=0101₂+1010₂=1111₂ =-1₁₀ <2³;(结果正确)

  4、与第三种情况相同，只是正数绝对值比负数大。

-5₁₀+6₁₀=1011₂+0110₂=(1)0001₂ <2³;(符号位产生的进位忽略，没有溢出，结果正确)

  5、两个负数相加，和的绝对值小于2^n-1 。

  -3₂+(-4₂)=1101₂+1100₂=(1)1001₂=-7₁₀ ;(忽略符号位的进位，没有溢出，结果正确)

  6、两个负数相加，和的绝对值大于2^n-1 。

-5₁₀+(-6₁₀)=1011₂+1010₂=(1)0101₂ =-11₁₀ <-2³;(结果溢出，结果错误，-11带符号为共需5位才能表示)

3、反码

  反码与补码加法类似，只是最后产生的进位不是丢弃而是再次加到n位和的最右位上，这被称为循环进位(end-around carry)。正数反码加法和前面补码示例中前两点相同。下面给出其余的反码加法情况(n=4)。

  3、正数与负数相加，负数绝对值较大。

5₁₀+(-6₁₀)=0101₂+1001₂=1110₂=-1₁₀ ;（结果正确）

  4、与（3）相同，只是正数比负数绝对值大。

-5₁₀+6₁₀=1010₂+0110₂=(1)0000₂;

0000₂+0001₂=0001₂ =1₁₀（循环进位，没有溢出，结果正确）

  5、两个负数相加，结果的绝对值小于2^n-1 。

-3₁₀+(-4₁₀)=1100₂+1011₂=(1)0111₂ ;

0111₂+0001₂=1000₂ =-7₁₀;(循环进位，没有溢出，结果正确)

  6、两个负数相加，结果的绝对值大于2^n-1 。

-5₁₀+(-6₁₀)=1010₂+1001₂=(1)0111₂;

0111₂+0001₂=1000₂ =-7₁₀;(结果溢出，结果错误)

  值得注意，两个负数相加结果为正，因此也能检测出错误。