noi2017 整数 线段树or模拟

Posted 2022-01-04 xiefengze1

ORZYYB

 

题目大意：你需要维护一个有$3\times 10^7$个二进制位的数，有一种修改方式和一种询问方式

对这个数加上$a\times2^b$，其中$|a|≤10^9$，$b≤3\times 10^7$，保证需要维护的这个数始终非负

询问这个数第k个二进制位的值

总共有$10^6$次询问/修改操作

 

我们不难发现，如果只有加法操作的话，对任意一个位执行加法操作，均摊进位次数是1。

证明是显然的（我貌似之前在MC里面用红石电路模拟过二进制进位过程。。。。）

也就是说暴力加暴力进位的复杂度是正确的。

但是这里有a并不保证非负，这样一来通过精心（大雾）的构造方式，可以让你疯狂进位/退位，所以并不能单纯暴力模拟。

我们考虑对加法部分和减法部分分开维护（设A为加法的部分，B为减法的部分），这样的进位复杂度显然就是对的。

 

考虑到$A≥B$，那么显然有$\fracA2^k≥\fracB2^k$。

对于每次查询操作，我们分别找出A的第k位和B的第k位

现在对答案会产生影响的显然是A的末k-1位和B的末k-1位相减后，A的第k位是否需要退位。

我们考虑开一个set，若A的第i位和B的第i位不同，那么我们就把i丢入set中。

我们考虑在set中找到满足<k的i，直接判断A的第i位和B的第i位的大小关系，就可以判出是否会产生退位。

set的维护在对大数做修改的时候去更新。

 

考虑到这个数非常大，直接维护会超时，我们不妨做一波压位，然后再来维护，这样就跑得快很多了。

注意！对于一个32位的数，左移32位的操作会直接被忽略。

 

当然之前还有一些比较菜的想法，维护整个数的差分序列，若差分序列某个位置不为0就丢入set中，然后也来压位一波，不过代码估计长很多。

 

时间复杂度：$O(n\ log\ n)$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define M 500005
 3 #define S 64
 4 #define L unsigned long long
 5 using namespace std;
 6 
 7 int n,t1,t2,t3;
 8 L a[M]=0,b[M]=0,P=-1;
 9 set<int> s;
10 
11 void upd(int x)
12     if(a[x]!=b[x]) s.insert(x);
13     else
14         if(s.find(x)!=s.end()) s.erase(x);
15     
16 
17 
18 int main()
19     scanf("%d%d%d%d",&n,&t1,&t2,&t3);
20     while(n--)
21         int op,B; scanf("%d",&op); L A;
22         int aa;
23         if(op==1)
24             scanf("%d%d",&aa,&B);
25             if(aa>0)
26                 A=aa;
27                 int x=B/S,y=B%S;
28                 L s1=(A<<y)&P,s2=y?(A>>(S-y)):0;
29                 a[x]=a[x]+s1; upd(x);
30                 if(a[x]<s1) s2++;
31                 while(s2)
32                     x++;
33                     a[x]=a[x]+s2; upd(x);
34                     s2=(a[x]<s2);
35                 
36             else
37                 A=-aa;
38                 int x=B/S,y=B%S;
39                 L s1=(A<<y)&P,s2=y?(A>>(S-y)):0;
40                 b[x]=b[x]+s1; upd(x);
41                 if(b[x]<s1) s2++;
42                 while(s2)
43                     x++;
44                     b[x]=b[x]+s2; upd(x);
45                     s2=(b[x]<s2);
46                 
47             
48         else
49             scanf("%d",&B);
50             int x=B/S,y=B%S;
51             int ans=(((a[x]>>y)^(b[x]>>y))&1);
52             A=y?(a[x]<<(S-y)):0;
53             L BB=y?(b[x]<<(S-y)):0;
54             if(A<BB) ans^=1;
55             if(A==BB)
56                 set<int>::iterator it=s.lower_bound(x);
57                 if(it!=s.begin())
58                     it--; x=*it;
59                     if(a[x]<b[x]) ans^=1;
60                 
61             
62             printf("%d\n",ans);
63         
64     
65