noi2017 T1 整数 ——线段树

Posted 2020-09-29 友人A

 

loj.ac上有  题目传送门

不过我还是把题目搬过来吧

整数（integer）
【题目背景】
在人类智慧的山巅，有着一台字长为 1048576 位的超级计算机，著名理论计算机科 学家 P 博士正用它进行各种研究。不幸的是，这天台风切断了电力系统，超级计算机 无法工作，而 P 博士明天就要交实验结果了，只好求助于学过 OI 的你......
【题目描述】 P 博士将他的计算任务抽象为对一个整数的操作。

 具体来说，有一个整数 x ，一开始为 0。 接下来有 n 个操作，每个操作都是以下两种类型中的一种：

 • 1 a b ：将 x 加上整数 a·2b，其中 a 为一个整数，b 为一个非负整数

 • 2 k ：询问 x 在用二进制表示时，位权为 2k 的位的值（即这一位上的 1 代表 2k ）

 保证在任何时候，x≥0。
【输入格式】 从标准输入读入数据。

 输入的第一行包含四个正整数 n,t1,t2,t3，n 的含义见题目描述，t1,t2,t3 的具体含义 见子任务。

 接下来 n 行，每行给出一个操作，具体格式和含义见题目描述。

同一行输入的相邻两个元素之间，用恰好一个空格隔开。
【输出格式】

输出到标准输出。

对于每个询问操作，输出一行，表示该询问的答案（000 或 111）。 对于加法操作，没有任何输出

样例输入 1

 10 3 1 2

 1 100 0

 1 2333 0

 1 -233 0

 2 5

 2 7

 2 15

 1 5 15

 2 15

 1 -1 12

 2 15

【样例 1 输出】

 0

 1

 0

 1

 0

【子任务】 在所有测试点中，

1 ≤ t1 ≤ 3,1 ≤ t2 ≤ 4,1 ≤ t3 ≤ 2。

不同的 t1,t2,t3 对应的特殊限制 如下：

• 对于 t1 = 1 的测试点，满足 a = 1

•对于 t1 = 2 的测试点，满足 |a|= 1

• 对于 t1 = 3 的测试点，满足 |a|≤109 • 对于 t2 = 1 的测试点，满足 0≤b,k≤30

• 对于 t2 = 2 的测试点，满足 0≤b,k≤100

• 对于 t2 = 3 的测试点，满足 0≤b,k≤n

• 对于 t2 = 4 的测试点，满足 0≤b,k≤30n

• 对于 t3 = 1 的测试点，保证所有询问操作都在所有修改操作之后

• 对于 t3 = 2 的测试点，不保证询问操作和修改操作的先后顺序

 

这道题首先 a*2^b 这个东西呢按我的想法是把 a 拆成2的x次幂的和 然后+b

如果只有加法当然很好写 但是这道题 a 可能是负的 

所以我开了两个数组 s1 s2 来存 s1 存的是正的 s2 存的是负的

注意存的时候进位 均摊复杂度只有o（1） 所以暴力进位就好了

然后问题就转换成了已知两个高精度数，问他们的差的某一位是什么

 然后分类可得

我们记一个数为 1（0）x

1 (0)  表示询问的这一位的值（因为是二进制，所以不是1就是0）

x就是询问位后面那一串东西（一坨1 0 混合体）

考虑减法是否退位的时候呢

1. x>=y:
1x-1y=0(x-y)
1x-0y=1(x-y)
0x-1y=1(x-y)
0x-0y=0(x-y)
2. x<y:
1x-1y=1(x-y+2^k)
1x-0y=0(x-y+2^k)
0x-1y=0(x-y+2^k)
0x-0y=1(x-y+2^k)

举个例子吧

10-10=00
10-00=10
01-10=11
01-01=00

10-11=11
10-01=01
00-11=01
00-01=11

注 题目保证x始终大于等于0 所以s1总和也一定大于s2

这样分析之后呢 问题就转换成了从1-x（即询问位）-1这个区间里s1 s2 的大小关系

如果 s1>=s2

那么答案就是 s1^s2（^念做异或）

如果 s2<=s2

那么答案就是 s1==s2 (==念做同或）

那么 x 和 y 的比较 其实就是比较字典序 找到第一个不一样的地方 哪个是1 哪个就大 （这么很好证明我就不详细讲了） 注意这里讲的都是二进制

算了举个例子吧 如果x是1000 y是0111 那么x是不是一定大于y 

所以我们可以采用线段树维护区间内s1 s2 的大小

当然我这里采用的是zkw线段树 （自带底层优化自然会比较快 而且修改也很好写）

毕竟三千万（3e7)个叶子结点 同时线段树中下标也就是二进制中 2的次数

操作自然就是 区间内单点修改，前缀查询

那么我们每次操作1拆完a加上b以及进位之后

我们要记录一波 修改到的最左位置到最右位置 进位自然也算修改

然后就在线段树上暴力修改顺便上传信息 复杂度是 o( r-l + log(n)）

操作2 询问的时候我们就找到区间中靠右(也就是比较大的位置）的第一个不一样的地方然后判断一波就好了

到这里题目就完美解决了 修改（modify）以及 查找（find） 就看代码吧 

注： find我的写法呢 是向上走时，如果x是右孩子且x的兄弟为1才向下走

实测跑得也蛮快的 23333

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long 
using namespace std;
const int M=3e7+31,N=1<<25;
int read(){
    int ans=0,f=1,c=getchar();
    while(c<\'0\'||c>\'9\'){if(c==\'-\') f=-1; c=getchar();}
    while(c>=\'0\'&&c<=\'9\'){ans=ans*10+(c-\'0\'); c=getchar();}
    return ans*f;
}
int s1[M],s2[M],cnt;
int l,r,a,b,n,k;
void prepare(int x){
    if(!x) return ;
    int v=x>0?x:-x,w[31]; 
    cnt=0;
    for(int i=30;i>=0;i--){
        int now=1<<i;
        if(now&v) v-=now,w[++cnt]=i;
        if(!v) break;
    }
    l=w[cnt]+b; r=w[1]+b;
    if(x>0)
    for(int i=1;i<=cnt;i++){ 
        int now=w[i]+b; 
        while(s1[now]) s1[now++]=0,r=max(r,now);
        s1[now]=1;
    }
    else
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        int now=w[i]+b; 
        while(s2[now]) s2[now++]=0,r=max(r,now);
        s2[now]=1;
    }
}
int tr[2*N],T,now;
void modify(){
    for(int i=l;i<=r;i++) tr[i+N]=s1[i]^s2[i];
    for(l=(l+N)>>1,r=(r+N)>>1;l;l>>=1,r>>=1)
    for(int i=l;i<=r;i++) tr[i]=tr[i<<1]|tr[i<<1^1];
}
int find(int k){
    for(k+=N;k;k>>=1) if(k&1&tr[k^1]){
        for(k^=1;k<N;k=k<<1^tr[k<<1^1]);
        return k-N;
    }
    return -1;
}
int main()
{
    n=read(); T=read(); T=read(); T=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        k=read();
        if(k==1){
            a=read(); b=read(); 
            prepare(a);
            modify();
        }
        else{
            a=read(); 
            now=find(a);
            if(s1[now]>s2[now]||now==-1) printf("%d\\n",s1[a]^s2[a]);
            else printf("%d\\n",s1[a]==s2[a]);
        }
    }
    return 0;
}

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