Folding

Posted 2022-01-03 a1b3c7d9

Folding

给出一个长度为n的序列\(\a_i\\)，定义一个收缩的序列变为原序列的方式为

1. 如果该收缩序列只有一个字符，原序列即该个字符。
2. 如果一个收缩序列由多个收缩序列，那么分别对各个收缩序列进行解压，即原序列
3. 如果收缩序列形如\(n(S)\)，意为收缩序列S重复n次（注意，n为数字，转化成字符需要占空间），解压即把该序列重复n次。

请找到一个最短的收缩序列，解压后正好为序列\(\a_i\\)，\(n\leq 100\)。

解

显然问题具有区间划分性，因为几个收缩序列可以组成一个收缩序列，于是可以考虑区间递推，设\(f[i][j]\)表示合并\([i,j]\)后的最短的字符串，（接下来的+为字符串的相加，比较大小为字符串长度的比较，不知道意思查string的用法),首先区间合并性可以

\[f[i][j]=\min_k=i^j-1\f[i][k]+f[k+1][j]\\]

现在来考虑循环节的问题，循环节可以\(O(n^2)\)枚举，但是所有的循环节中必然是最短的循环节最优（感性理解一下），设最短循环节为k，有

\[f[i][j]=\min(f[i][j],to\_string(k)+"("+f[i][k-1]+")")\]

边界：\(f[i][i]=a_i\)

答案：\(f[1][n]\)

参考代码：

string 阶段实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define il inline
#define ri register
using namespace std;
string s,dp[101][101],lsy;
il string To(int);
il int xh(int,int);
int main()
    cin>>s;
    for(int i(1);i<=s.size();++i)
        dp[i][i].push_back(s[i-1]);
    for(int i,j(1),k;j<=s.size();++j)
        for(i=j-1;i;--i)
            for(k=i;k<j;++k)
                lsy=dp[i][k]+dp[k+1][j];
                if(!dp[i][j].size()||dp[i][j].size()>lsy.size())
                    dp[i][j]=lsy;
            k=xh(i,j);
            if(k)
                lsy=To((j-i+1)/k)+"("+dp[i][i+k-1]+")";
                if(lsy.size()<dp[i][j].size())
                    dp[i][j]=lsy;
            
        cout<<dp[1][s.size()].size();
    return 0;

il string To(int x)
    string ans;int w(1);while(w<=x)w*=10;w/=10;
    while(w)ans.push_back(x/w+48),x%=w,w/=10;
    return ans;

il int xh(int l,int r)
    int len(r-l+1);
    for(int i(1),j;i<=(len>>1);++i)
        if(len%i)continue;
        for(j=l;j<=r-i;++j)
            if(s[j-1]==s[j+i-1])continue;
            break;
        if(j>r-i)return i;
    return 0;

string dfs实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define il inline
#define ri register
using namespace std;
string s,dp[101][101],
    dfs(int,int);
il int cycle(int,int);
il string To_string(int);
int main()
    cin>>s;
    for(int i(1);i<=s.size();++i)
        dp[i][i].push_back(s[i-1]);
    cout<<dfs(1,s.size())<<endl;
    return 0;

il string To_string(int x)
    string ans;int w(1);
    while(w<=x)w*=10;w/=10;
    while(w)ans.push_back(x/w+48),
                x%=w,w/=10;return ans;

il int cycle(int l,int r)
    int len(r-l+1);
    for(int i(1),j;i<=(len>>1);++i)
        if(len%i)continue;
        for(j=l;j<=r-i;++j)
            if(s[j-1]==s[j+i-1])continue;
            break;
        if(j>r-i)return i;
    return 0;

string dfs(int l,int r)
    if(dp[l][r].size())return dp[l][r];
    string lsy;
    for(int k(l);k<r;++k)
        lsy=dfs(l,k)+dfs(k+1,r);
        if(lsy.size()<dp[l][r].size()
           ||!dp[l][r].size())dp[l][r]=lsy;
    int k(cycle(l,r));
    if(k)
        lsy=dfs(l,l+k-1);
        lsy=To_string((r-l+1)/k)+"("+lsy+")";
        if(lsy.size()<dp[l][r].size())dp[l][r]=lsy;
    return dp[l][r];

char数组实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define il inline
#define ri register
#define intmax 0x7fffffff
using namespace std;
struct String
    char s[111];int len;
    il void read()
        scanf("%s",s);
        len=strlen(s);
    
s,dp[101][101],lsy;
il int xh(int,int);
int main()
    s.read();
    for(int i(1);i<=s.len;++i)
        dp[i][i].s[0]=s.s[i-1],
            dp[i][i].len=1;
    for(int i,j(1),k,l;j<=s.len;++j)
        for(i=j-1;i;--i)
            dp[i][j].len=intmax;
            for(k=i;k<j;++k)
                if(dp[i][k].len+dp[k+1][j].len<dp[i][j].len)
                    dp[i][j].len=dp[i][k].len+dp[k+1][j].len,l=k;
            strcpy(dp[i][j].s,dp[i][l].s);
            strcat(dp[i][j].s,dp[l+1][j].s);
            l=xh(i,j);if(l)
                sprintf(lsy.s,"%d",(j-i+1)/l),strcat(lsy.s,"(");
                strcat(lsy.s,dp[i][i+l-1].s),strcat(lsy.s,")");
                lsy.len=strlen(lsy.s);
                if(lsy.len<=dp[i][j].len)
                    dp[i][j]=lsy;
            
        printf("%s",dp[1][s.len].s);
    return 0;

il int xh(int l,int r)
    int L(r-l+1);
    for(int i(1),j;i<=(L>>1);++i)
        if(L%i)continue;
        for(j=l;j<=r-i;++j)
            if(s.s[j-1]==s.s[j+i-1])continue;
            break;
        if(j>r-i)return i;
    return 0;