高数中的线性相关,线性无关,内积,点乘,投影的概念

Posted 2021-12-09 weijiazheng

1.线性相关,线性无关

在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立 (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。

定义:

在向量空间V的一组向量A:  ，如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使

则称向量组A是线性相关的 ，否则数 k1, k2, ···,km全为0时，称它是线性无关。

由此定义看出  是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。

即是看 这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。

此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而 线性相关。

 如 : 

有三个数a，b，c
如果存在不全为0的三个数m，n，k
使得ma+nb+kc=0
就说a，b，c线性相关 否则若只有当m=n=k=0时成立，则它们线性无关
其实a，b，c代表的东西很多，不一定就是数字，也可以是向量啊，等等
数量也不一定是三个，在这只是举个例子，也可以是无限多个

 

 2.内积,点乘(点积)

在数学中，数量积（dot product; scalar product，也称为点积）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：

a·b=a*b^T，这里的a^T指示矩阵a的转秩。

 

广义定义

在一个向量空间V中，定义在  上的正定对称双线性形式函数即是V的数量积，而添加有一个数量积的向量空间即是内积空间。

代数定义

设二维空间内有两个向量  和  ，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：

 

 

更一般地，n维向量的内积定义如下：

 

几何定义

设二维空间内有两个向量  和  ，  和  表示向量a和b的大小，它们的夹角为  ，则内积定义为以下实数：

 该定义只对二维和三维空间有效。

这个运算可以简单地理解为：

在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。

这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

 

 3.投影

在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换，是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。

同现实中阳光将事物投影到地面上一样，投影变换将整个向量空间映射到它的其中一个子空间，并且在这个子空间中是恒等变换。

如果向量空间被赋予了内积，那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。

在内积空间（赋予了内积的向量空间）中，有正交投影的概念。具体来说，正交投影是指像空间U和零空间W相互正交子空间的投影。

 定义 :  

 投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换P是投影，当且仅当。

另外一个定义则较为直观：P是投影，当且仅当存在V的一个子空间W，使得P将所有V中的元素都映射到W中，而且P在W上是恒等变换。

用数学的语言描述，就是： ，使得  ，并且  。 

 

 文章引自 : 《百度百科》