汉诺塔问题（递归篇）

Posted 2021-12-09 bpjj

篇幅略长，但没有废话，请耐心。

汉诺塔问题是印度一个古老的游戏。有3根柱子（A,B,C），A柱子上从上到下，排列了从小到大的若干个盘子，要求将盘子从A搬到C。

规则：1、一次搬动一个

　　　2、只有最上面的盘子能被搬动。

　　　3、大盘子不可放到小盘子的上方。

从简到繁的推理下：

1、如果A上有1个盘子，搬到C上只需要1步。

2、如果A上有2个盘子，需要A1搬到B，A2搬到C，再将A1搬到C，需要搬动3步。

3、如果A上有3个盘子，如下图： 8个图，搬动了7次。

 

　　　　　　　　　　　     图一

4.如果A上有4个盘子，如下图：需要15步骤。

　　　　　　　　　　　　　　图二

 

好了，可以推理下了。

n=1 (1) 　　n=2(3)　　n=3(7)　　n=4(15)

哈哈哈，火眼金睛的我已经看出来了，Tn = 2^n - 1。  什么？你说 Tn = 2Tn-1 + 1。  嗯。。。貌似也对。数学归纳法证明下二者是不是有联系。

想了想，证明啥啊，这是考算法啊，还是考数学啊？

再仔细观察图二中的第7，8两步。如果把B柱子看成A，把A看成B，去掉C的盘子，这不就是图一吗。这么一看，确实是Tn = 2Tn-1 + 1。

Tn,Tn-1 了解了，递归啊。

javascript 按照步骤写个思路。

/**
* @param {Object} n n个盘子
* @param {Object} a 初始盘在所在的柱子
* @param {Object} c 最终挪到的柱子
* @param {Object} b 可借用的柱子
*/
function towersOfHnt(n,a,c,b){
　　if(n >= 1){
　　　　towersOfHnt(n-1,a,b,c);　　　　//此步骤可以看成是图二中的前7步，将A中的盘子挪到B
　　　　

　　　　console.log("从"+a.name+"["+a.value+"]搬动一只盘子到"+c.name+"["+c.value+"]");
　　　　c.value.splice(0,0,a.value[0]);
　　　　a.value.splice(0,1);　　　　　　//此步骤可以看成第8步骤，将A的最后一个盘子挪到C

　　　　towersOfHnt(n-1,b,c,a);　　　　//此步骤看成9到15步骤，调换顺序，重新挪动盘子。
　　　　count++;
　　}
}

var count = 0;
function calculate(){
　　var a1 = {
　　　　name : "柱子A",
　　　　value : [1,2,3,4,5]
　　}
　　var b1 = {
　　　　name : "柱子B",
　　　　value : []
　　}
　　var c1 = {
　　　　name : "柱子C",
　　　　value : []
　　}
　　var n1 = 5;
　　towersOfHnt(n1,a1,c1,b1);
　　console.log("一共搬动了"+count+"次");
}
calculate();

 

运行上面的代码，按5个盘子来看下步骤与结果是否正确。

 

无论是Tn= 2^n - 1还是Tn = 2Tn-1 +1都正确。 证明完毕，结束。