最大权闭合子图

Posted 2021-12-08 y2823774827y

个人理解

网络流最小割里最重要的一节，不是说应用有多广，而是思想重要

很多大家口中"最大权闭合子图拓展题"，个人并不觉得有什么关联，每题都是不同的，相同的可能只是理解的思想，如果放在一起想，只会造成做题的混乱与局限

前置知识

闭合子图：一个点集\(V\)，如果点\(i\)在集合中，其出边所连接的点也在此集合中

简单割：割集全部连接源点或汇点

定义

最大权闭合子图：在有向联通带点权图中(且为\(DAG\))，权值和最大的闭合子图

建模

定义源点汇点，按点权正负连接与其连接，源点\(\longrightarrow\)正点，负点\(\longrightarrow\)负点\((0\)点对结果没有影响，不需要处理\()\)
并赋边权为点权

原图的边权置为\(inf\)

结论

求解最大权闭合子图是在三个结论基础上进行的，先来证明一下：

• 图的最小割为简单割
  证明：仅原图的边为连接源点或汇点，而这些边已置为\(inf\)，故不可能选择

• 在原图去除最小割的前提下，含有\(S\)的闭合子图(在下方我们称为图\(S\))为最大权闭合子图
  证明：记割集的权值和为\(X\)，连接源点的权值和为\(x_1\)，连接汇点的权值和为\(x_2\)，则\(X=x_1+x_2\)(边)
  记图\(S\)的点权和为\(W\)，正点权和为\(w_1\)，负点权和为\(-w_2\)，则\(W=w_1-w_2\)(点)
  \(X+W=w_1-w_2+x_1+x_2\)，而\(w_2=x_2(\)负点与汇点连接，图\(S\)是与汇点不联通是由于割掉了连接汇点的边\()\)
  故\(X+W=w_1+x_1\)，而\(w_1+x_1\)为原图正点权和，故\(W=(w_1+x_1)-X\)，而正点权和可以理解为常数

做法

求出最小割，正点权减掉及是最大权闭合子图权值和

感性理解

每种割法对应一种选择方法，最后\(S\)所连接的有容量边\((\)正向和反向\()\)

先暂定\(S\)的连边点集为\(A\)，\(T\)的连边点集为\(B\)

• 如果\(x\forall\in A\)但依然\(y\forall \in B\)到\(T\)的边被填满，可看作给\(z\exists \in A(z\ne x)\)先填一部分

• 如果\(x\forall\in A\)还没流完，但出度与\(T\)的边已经流完，\(val_x-\)流量可看作所得与成本的差

• 最后割完与\(S\)连接的子图，易证此时不会与\(T\)相连，其实就是让我们在消费完后直接免费挑选物品\((\)与\(S\)直接连接的部分\()\)