Loj #3111. 「SDOI2019」染色

Posted 2021-11-30 hchhch233

Loj #3111. 「SDOI2019」染色

题目描述

给定 \\(2 \\times n\\) 的格点图。其中一些结点有着已知的颜色，其余的结点还没有被染色。一个合法的染色方案不允许相邻结点有相同的染色。

现在一共有 \\(c\\) 种不同的颜色，依次记为 \\(1\\) 到 \\(c\\)。请问有多少对未染色结点的合法染色方案？

输入格式

第一行有两个整数 \\(n\\) 和 \\(c\\)，分别描述了格点图的大小和总的颜色个数。

之后两行，每行有 \\(n\\) 个整数：如果是 \\(0\\) 则表示对应结点未被染色，否则一定是一个 \\(1\\) 到 \\(c\\) 的整数表示对应结点已经染了某一种颜色。

输出格式

输出一个整数，为总的染色方案数对 \\(10^9 + 9\\) 取模后的值。

数据范围与提示

子任务 \\(1\\)（\\(44\\) 分）：\\(1 ≤ n ≤ 10000\\) 且 \\(5 ≤ c ≤ 10000\\)；不存在一列有 \\(2\\) 个已染色结点；被染色结点全部位于第一行；第一列和最后一列均有结点已被染色。

子任务 \\(2\\)（\\(32\\) 分）：\\(1 ≤ n ≤ 10000\\) 且 \\(5 ≤ c ≤ 10000\\)；不存在一列有 \\(2\\) 个已染色结点；第一列和最后一列均有结点已被染色。

子任务 \\(3\\)（\\(12\\) 分）：\\(1 ≤ n ≤ 10000\\) 且 \\(5 ≤ c ≤ 10000\\)；第一列和最后一列均有结点已被染色。

子任务 \\(4\\)（\\(8\\) 分）：\\(1 ≤ n ≤ 10000\\) 且 \\(5 ≤ c ≤ 10000\\)。

子任务 \\(5\\)（\\(4\\) 分）：\\(1 ≤ n ≤ 100000\\) 且 \\(5 ≤ c ≤ 100000\\)。

参考博客

首先我们只需要将有颜色的那些列保留下来就好了，然后只记录另一个格子的颜色，这样状态就是\\(O(nc)\\)的了。对于一列有两个格子有颜色的情况，我们可以假装该列上第二行没有颜色，然后每次\\(DP\\)完了过后将不合法的状态清零就行了。

然后考虑两个有颜色的列之间怎么转移。我们可以讨论这两列的四个格子之间的关系，然后直接转移，为此我们要预处理出转移数组（具体的就看上面给的那个博客）这样我们就可以批量转移中间的一堆全\\(0\\)列了。

转态的话就有一下几种（中间省略了\\(0\\)）：

1. \\(\\begin{pmatrix}x&x\\\\y&y \\end{pmatrix}\\)
2. \\(\\begin{pmatrix}x&y\\\\y&x \\end{pmatrix}\\)
3. \\(\\begin{pmatrix}x&x\\\\y&w \\end{pmatrix}\\)
4. \\(\\begin{pmatrix}x&w\\\\y&y \\end{pmatrix}\\)
5. \\(\\begin{pmatrix}x&w\\\\y&x \\end{pmatrix}\\)
6. \\(\\begin{pmatrix}x&y\\\\y&w \\end{pmatrix}\\)
7. \\(\\begin{pmatrix}x&w\\\\y&k \\end{pmatrix}\\)

\\(2,3\\)是等价的，\\(4,5\\)是等价的。转移就不说了。

这样就有\\(96\\)分了。

96分代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=1e9+9;
ll ksm(ll t,ll x) {
    ll ans=1;
    for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
        if(x&1) ans=ans*t%mod;
    return ans;
}

ll n,c;
int a[N],b[N];
ll g[N][5];
int pos[N],tot;
ll f[2][N];
int col[N];
int type[N];
int main() {
    n=Get(),c=Get();
    ll trans[5][5]={
        {0,1,0,c-2,1ll*(c-2)*(c-3)%mod},
        {1,0,c-2,0,1ll*(c-2)*(c-3)%mod},
        {0,2,c-2,2*c-5,2ll*(c-3)*(c-3)%mod},
        {2,0,2*c-5,c-2,2ll*(c-3)*(c-3)%mod},
        {1,1,c-3,c-3,1ll*(c-3)*(c-4)%mod+1}
    };
    
    g[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=0;j<5;j++) {
            for(int k=0;k<5;k++) {
                (g[i][k]+=g[i-1][j]*trans[j][k])%=mod;
            }
        }
    }
    ll inv23=ksm(c-2,mod-2),inv4=ksm((c-2)*(c-3)%mod,mod-2);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        g[i][2]=g[i][2]*inv23%mod;
        g[i][3]=g[i][3]*inv23%mod;
        g[i][4]=g[i][4]*inv4%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=Get();
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=Get();
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(a[i]&&a[i]==b[i]) {
            cout<<0;return 0;
        }
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(a[i]||b[i]) {
            if(a[i]&&!b[i]) type[i]=0,col[i]=a[i];
            if(!a[i]&&b[i]) type[i]=1,col[i]=b[i];
            if(a[i]&&b[i]) type[i]=2,col[i]=a[i];
            pos[++tot]=i;
        }
    }
    
    if(type[pos[1]]!=2) {
        for(int i=1;i<=c;i++)
            if(i!=col[pos[1]]) f[1][i]=1;
    } else f[1][b[pos[1]]]=1;
    
    if(pos[1]!=1) {
        ll tem=(g[pos[1]-1][0]+g[pos[1]-1][1]+2*g[pos[1]-1][2]*(c-2)+2*g[pos[1]-1][3]*(c-2)+g[pos[1]-1][4]*(c-2)%mod*(c-3))%mod;
        for(int i=1;i<=c;i++) f[1][i]=f[1][i]*tem%mod;
    }
    for(int i=2;i<=tot;i++) {
        int now=i&1;
        memset(f[now],0,sizeof(f[now]));
        ll sum=0;
        for(int j=1;j<=c;j++) sum+=f[now^1][j];
        sum%=mod;
        for(int j=1;j<=c;j++) {
            if(j==col[pos[i]]) continue ;
            if((type[pos[i-1]]&1)==(type[pos[i]]&1)) {
                if(col[pos[i-1]]==col[pos[i]]) {
                    f[now][j]=(f[now^1][j]*g[pos[i]-pos[i-1]][0]+(sum-f[now^1][j]+mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][2])%mod;
                } else {
                    if(j==col[pos[i-1]]) {
                        f[now][j]=((sum-f[now^1][col[pos[i]]]+mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][3]+f[now^1][col[pos[i]]]*g[pos[i]-pos[i-1]][1])%mod;
                    } else {
                        f[now][j]=(f[now^1][j]*g[pos[i]-pos[i-1]][2]+f[now^1][col[pos[i]]]*g[pos[i]-pos[i-1]][3]+(sum-f[now^1][j]-f[now^1][col[pos[i]]]+2*mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][4])%mod;
                    }
                }
            } else {
                if(col[pos[i-1]]==col[pos[i]]) {
                    f[now][j]=(f[now^1][j]*g[pos[i]-pos[i-1]][1]+(sum-f[now^1][j]+mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][3])%mod;
                } else {
                    if(j==col[pos[i-1]]) {
                        f[now][j]=((sum-f[now^1][col[pos[i]]]+mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][2]+f[now^1][col[pos[i]]]*g[pos[i]-pos[i-1]][0])%mod;
                    } else {
                        f[now][j]=(f[now^1][j]*g[pos[i]-pos[i-1]][3]+f[now^1][col[pos[i]]]*g[pos[i]-pos[i-1]][2]+(sum-f[now^1][j]-f[now^1][col[pos[i]]]+2*mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][4])%mod;
                    }
                }
            }
        }
        if(type[pos[i]]==2) for(int j=1;j<=c;j++) if(j!=b[pos[i]]) f[now][j]=0;
    }
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=c;i++) sum+=f[tot&1][i];
    sum%=mod;
    if(pos[tot]<n) {
        sum=sum*((g[n-pos[tot]][0]+g[n-pos[tot]][1]+2*g[n-pos[tot]][2]*(c-2)+2*g[n-pos[tot]][3]*(c-2)+g[n-pos[tot]][4]*(c-2)%mod*(c-3))%mod)%mod;
    }
    cout<<sum;
    return 0;
}

优化的话可以发现每次\\(DP\\)只有几个状态的转移和其他的不一样，所以开颗线段树维护下就好了，当然也可以用\\(SDOI2019\\ D1\\ T1\\)的方法（还有这种玩法？？）

\\(100\\)分代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=1e9+9;
ll ksm(ll t,ll x) {
    ll ans=1;
    for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
        if(x&1) ans=ans*t%mod;
    return ans;
}

ll n,c;
int a[N],b[N];
ll g[N][5];
int pos[N],tot;
ll f[2][N];
int col[N];
int type[N];
struct tree {
    int l,r;
    ll sum;
    ll mul,add;
}tr[N<<2];

void update(int v) {
    tr[v].sum=tr[v<<1].sum+tr[v<<1|1].sum;
    if(tr[v].sum>=mod) tr[v].sum-=mod;
}

void Add(int v,ll f) {
    (tr[v].sum+=f*(tr[v].r-tr[v].l+1))%=mod;
    (tr[v].add+=f)%=mod;
}

void Mul(int v,ll f) {
    tr[v].sum=tr[v].sum*f%mod;
    tr[v].add=tr[v].add*f%mod;
    tr[v].mul=tr[v].mul*f%mod;
}

void down(int v) {
    if(tr[v].mul!=1) {
        Mul(v<<1,tr[v].mul);
        Mul(v<<1|1,tr[v].mul);
        tr[v].mul=1;
    }
    if(tr[v].add) {
        Add(v<<1,tr[v].add);
        Add(v<<1|1,tr[v].add);
        tr[v].add=0;
    }
}

void build(int v,int l,int r) {
    tr[v].l=l,tr[v].r=r;
    tr[v].mul=1,tr[v].add=0;
    if(l==r) {
        tr[v].sum=f[1][l];
        return ;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(v<<1,l,mid),build(v<<1|1,mid+1,r);
    update(v);
}

void Add(int v,int l,int r,ll f) {
    if(tr[v].l>r||tr[v].r<l) return ;
    if(l<=tr[v].l&&tr[v].r<=r) {
        Add(v,f);
        return ;
    }
    down(v);
    Add(v<<1,l,r,f),Add(v<<1|1,l,r,f);
    update(v);
}

void Mul(int v,int l,int r,ll f) {
    if(tr[v].l>r||tr[v].r<l) return ;
    if(l<=tr[v].l&&tr[v].r<=r) {
        Mul(v,f);
        return ;
    }
    down(v);
    Mul(v<<1,l,r,f),Mul(v<<1|1,l,r,f);
    update(v);
}

ll query(int v,int l,int r) {
    if(tr[v].l>r||tr[v].r<l) return 0;
    if(l<=tr[v].l&&tr[v].r<=r) return tr[v].sum;
    down(v);
    return (query(v<<1,l,r)+query(v<<1|1,l,r))%mod;
}

int main() {
    n=Get(),c=Get();
    ll trans[5][5]={
        {0,1,0,c-2,1ll*(c-2)*(c-3)%mod},
        {1,0,c-2,0,1ll*(c-2)*(c-3)%mod},
        {0,2,c-2,2*c-5,2ll*(c-3)*(c-3)%mod},
        {2,0,2*c-5,c-2,2ll*(c-3)*(c-3)%mod},
        {1,1,c-3,c-3,1ll*(c-3)*(c-4)%mod+1}
    };
    g[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        for(int j=0;j<5;j++) {
            for(int k=0;k<5;k++) {
                (g[i][k]+=g[i-1][j]*trans[j][k])%=mod;
            }
        }
    }
    ll inv23=ksm(c-2,mod-2),inv4=ksm((c-2)*(c-3)%mod,mod-2);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        g[i][2]=g[i][2]*inv23%mod;
        g[i][3]=g[i][3]*inv23%mod;
        g[i][4]=g[i][4]*inv4%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=Get();
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=Get();
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(a[i]&&a[i]==b[i]) {
            cout<<0;return 0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(a[i]||b[i]) {
            if(a[i]&&!b[i]) type[i]=0,col[i]=a[i];
            if(!a[i]&&b[i]) type[i]=1,col[i]=b[i];
            if(a[i]&&b[i]) type[i]=2,col[i]=a[i];
            pos[++tot]=i;
        }
    }
    if(type[pos[1]]!=2) {
        for(int i=1;i<=c;i++)
            if(i!=col[pos[1]]) f[1][i]=1;
    } else f[1][b[pos[1]]]=1;
    
    if(pos[1]!=1) {
        ll tem=(g[pos[1]-1][0]+g[pos[1]-1][1]+2*g[pos[1]-1][2]*(c-2)+2*g[pos[1]-1][3]*(c-2)+g[pos[1]-1][4]*(c-2)%mod*(c-3))%mod;
        for(int i=1;i<=c;i++) f[1][i]=f[1][i]*tem%mod;
    }
    build(1,1,c);
    for(int i=2;i<=tot;i++) {
        ll sum=query(1,1,c);
        if((type[pos[i-1]]&1)==(type[pos[i]]&1)) {
            if(col[pos[i-1]]==col[pos[i]]) {
                Mul(1,1,c,g[pos[i]-pos[i-1]][0]-g[pos[i]-pos[i-1]][2]+mod);
                Add(1,1,c,sum*g[pos[i]-pos[i-1]][2]%mod);
            } else {
                ll x=query(1,col[pos[i]],col[pos[i]]);
                Mul(1,col[pos[i-1]],col[pos[i-1]]-1,0);
                Add(1,col[pos[i-1]],col[pos[i-1]],((sum-x+mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][3]+x*g[pos[i]-pos[i-1]][1])%mod);
                
                Mul(1,1,col[pos[i-1]]-1,g[pos[i]-pos[i-1]][2]-g[pos[i]-pos[i-1]][4]+mod);
                Mul(1,col[pos[i-1]]+1,c,g[pos[i]-pos[i-1]][2]-g[pos[i]-pos[i-1]][4]+mod);
                Add(1,1,col[pos[i-1]]-1,(x*g[pos[i]-pos[i-1]][3]+(sum-x+mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][4])%mod);
                Add(1,col[pos[i-1]]+1,c,(x*g[pos[i]-pos[i-1]][3]+(sum-x+mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][4])%mod);
            }
        } else {
            if(col[pos[i-1]]==col[pos[i]]) {
                Mul(1,1,c,g[pos[i]-pos[i-1]][1]-g[pos[i]-pos[i-1]][3]+mod);
                Add(1,1,c,sum*g[pos[i]-pos[i-1]][3]%mod);
            } else {
                ll x=query(1,col[pos[i]],col[pos[i]]);
                Mul(1,col[pos[i-1]],col[pos[i-1]]-1,0);
                Add(1,col[pos[i-1]],col[pos[i-1]],((sum-x+mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][2]+x*g[pos[i]-pos[i-1]][0])%mod);
                
                Mul(1,1,col[pos[i-1]]-1,g[pos[i]-pos[i-1]][3]-g[pos[i]-pos[i-1]][4]+mod);
                Mul(1,col[pos[i-1]]+1,c,g[pos[i]-pos[i-1]][3]-g[pos[i]-pos[i-1]][4]+mod);
                Add(1,1,col[pos[i-1]]-1,(x*g[pos[i]-pos[i-1]][2]+(sum-x+mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][4])%mod);
                Add(1,col[pos[i-1]]+1,c,(x*g[pos[i]-pos[i-1]][2]+(sum-x+mod)*g[pos[i]-pos[i-1]][4])%mod);
            }
        }
        Mul(1,col[pos[i]],col[pos[i]],0);
        if(type[pos[i]]==2) {
            if(b[pos[i]]>1) Mul(1,1,b[pos[i]]-1,0);
            if(b[pos[i]]<n) Mul(1,b[pos[i]]+1,c,0);
        }
    }
    ll sum=0;
    sum=query(1,1,c);
    sum%=mod;
    if(pos[tot]<n) sum=sum*((g[n-pos[tot]][0]+g[n-pos[tot]][1]+2*g[n-pos[tot]][2]*(c-2)+2*g[n-pos[tot]][3]*(c-2)+g[n-pos[tot]][4]*(c-2)%mod*(c-3))%mod)%mod;
    cout<<sum;
    return 0;
}