loj2983WC2019数树

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了loj2983WC2019数树相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目

两颗\(n\)个点的树T1和T2,有\(y\)种颜色;

现在给每个点染色,要求公共边端点的颜色相同,求:

? 1.op=0 , T1和T2都确定,求合法染色方案数;

? 2.op=1 , T1确定,求所有T2的合法染色方案数的和 ;

? 3.op=2 , 求所有(T1,T2)合法染色方案数的和;

\(mod \ 998244353\)的值;

$1 \le n \le 10^5 ?, ?1 \le y \lt 998244353 ?, ?op = { 0,1,2 } $ ;

题解

  • op=0

  • map即可

  • op=1

  • Part 1

    • 子集反演:
      \[ g(S) = \sum_{S \subset T} f(T) \Leftrightarrow f(S) = \sum_{S \subset T} (-1)^{|T|-|S|}f(T) \\]
      \(T_1 \cap T_2 = S\)的方案数为\(f(S)\)\(T_1 \cap T_2 \supset S\)的方案数为\(g(S)\)

      套用得:
      \[ \begin{align} ans &= \sum_{S} f(S) y^{n-|S|}\&= y^n \sum_{S} y^{-|S|} \sum_{S \subset T}(-1)^{|T|-|S|} g(T) \&= y^n \sum_{T} g(T) \sum_{S\subset T}y^{-|S|}(-1)^{|T|-|S|} \&= y^n \sum_{T} g(T) \sum_{i=0}^{|T|} (^{|T|}_{\ i})(\frac{1}{y})^{i}(-1)^{|T|-i}\&= y^n \sum_{T} g(T) (\frac{1}{y}-1)^{|T|} \令z&= \frac{1}{y}-1\ans &= y^n \sum_{T} z^{|T|}g(T) \\end{align} \]

  • Part 2

    • prufer序列求\(g(T)\)

      \(T\)会形成\(m = n-|T|\)个连通块,设大小为\(a_i\)\(g(T)\)相当于将其重新连成树的方案数:
      \[ g(T) = \sum_{\sum d_i = m-2} (m-2)! \Pi_{i=1}^{m}\frac{a_i^{d_i+1}}{d_i!} \]
      考虑先构造一个prufer序列,再在最后依次加入\(1-m\)得到一个长度为\(2m-2\)的度数序列;

      \(g(T)\)的组合意义就是对这些点染色,\(i\)号连通块有\(a_i\)种颜色可以染;

      对前m-2个位置有n中不同的颜色,后m个位置每个有\(a_i\)种颜色,即:
      \[ \begin{align} g(T) &= n^{m-2}\Pi_{i=1}^{m} a_i \\Rightarrow \ ans &= y^n \sum_{T}z^{n-m} \times n^{m-2}\Pi_{i=1}^{m} a_i\\ ans &= \frac{y^n z^n}{n^2} \sum_{T}z^{-m}n^{m}\Pi_{i=1}^{m} a_i \end{align} \]
      \(\Pi_{i=1}^{m} a_i\)看成每个连通块选一个点,\(f_{ \{ u,0/1 \} }\)表示是否选了的贡献即可\(dp\)

  • op=2

  • Part 1

    • 同理:
      \[ \begin{align} ans &= y^n\sum_{T} z^{|T|} g^2(T) \ &= \frac{y^n z^n}{n^4} \sum_{T}z^{-m}n^{2m}\Pi_{i=1}^{m} a_i^2 \ \end{align} \]
  • \(\sum_{T}\)后面那一坨可以看成是\(m\)个联通块组成的图;

  • 连通块的EGF为\(F(x) \ = \ \frac{n^2}{z} i^2 \times i^{i-2} \times \frac{x^i}{i!} \Rightarrow \frac{n^2i^i}{zi!}x^i\)

  • 所以图的EGF为$G(x) = e^{F(x)} \Rightarrow ans = \frac{y^n z^n n!}{n^4} [x^n]G(x) $

  • (这个策爷的论文里有讲)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define mk make_pair
#define mod 998244353
using namespace std;
const int N=100010;
int n,Y,Z,op;
char gc(){
    static char*p1,*p2,s[1000000];
    if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    return(p1==p2)?EOF:*p1++;
}
int rd(){
    int x=0;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9')c=gc();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
    return x;
}
int pw(int x,int y){
    int re=1;
    if(y<0)y+=mod-1;
    while(y){
        if(y&1)re=(ll)re*x%mod;
        y>>=1;x=(ll)x*x%mod;
    }
    return re;
}
namespace subtask0{
    typedef pair<int,int>pii;
    map<pii,bool>mp;
    void solve(){
        for(int i=1;i<n;++i){
            int u=rd(),v=rd();
            if(u>v)swap(u,v);
            mp[mk(u,v)]=1;
        }
        int cnt=0;
        for(int i=1;i<n;++i){
            int u=rd(),v=rd();
            if(u>v)swap(u,v);
            if(mp[mk(u,v)])cnt++;
        }
        printf("%d\n",pw(Y,n-cnt));
    }
}

namespace subtask1{
    int f[N][2],o=1,hd[N],pre,ipre;
    struct Edge{int v,nt;}E[N<<1];
    void adde(int u,int v){
        E[o]=(Edge){v,hd[u]};hd[u]=o++;
        E[o]=(Edge){u,hd[v]};hd[v]=o++;
    }
    void dfs(int u,int fa){
        f[u][0]=f[u][1]=pre;
        for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){
            int v=E[i].v;
            if(v==fa)continue;
            dfs(v,u);
            int t0 = f[u][0] , t1 = f[u][1]; 
            f[u][0] = (1ll * t0 * f[v][1] %mod + 1ll * t0 * f[v][0] %mod * ipre %mod) %mod;
            f[u][1] = (1ll * t1 * f[v][1] %mod + 1ll * (1ll*t0*f[v][1]+1ll*t1*f[v][0]) %mod * ipre %mod) %mod;
        }
    }
    void solve(){
        if(!Z){cout<<pw(n,n-2)<<endl;return;}
        for(int i=1;i<n;++i)adde(rd(),rd());
        pre = 1ll * n * pw(Z , mod-2) %mod; 
        //pre = 1;
        ipre = pw(pre , mod-2); 
        dfs(1,0);
        int ans = 1ll * f[1][1] * pw(1ll*Y*Z%mod , n) %mod * pw(1ll*n*n%mod , mod-2) %mod;
        cout << ans << endl;
    }
}
namespace subtask2{
    const int N2=N<<2;
    int fac[N2],ifac[N2],iv[N2],a[N2],b[N2],L,G=3,rev[N2];
    void ntt(int*A,int len,int f){
        for(L=0;(1<<L)<len;++L);
        for(int i=0;i<len;++i){
            rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
            if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);
        }
        for(int i=1;i<len;i<<=1){
            int wn=pw(G , f * (mod-1)/i/2);
            for(int j=0;j<len;j+=i<<1){
                int w=1;
                for(int k=0;k<i;++k,w=1ll*w*wn%mod){
                    int x=A[j+k],y=1ll*w*A[j+k+i]%mod; 
                    A[j+k]=(x+y)%mod,A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
                }
            }
        }
        if(!~f)for(int i=0;i<len;++i)A[i]=(ll)A[i]*iv[len]%mod;
    }
    void cls(int*A,int l,int r){for(int i=l;i<r;++i)A[i]=0;}
    void cpy(int*A,int*B,int l){for(int i=0;i<l;++i)A[i]=B[i];}
    void der(int*A,int l){for(int i=0;i<l-1;++i)A[i]=1ll*A[i+1]*(i+1)%mod;A[l-1]=0;}
    void dif(int*A,int l){for(int i=l-1;i;--i)A[i]=1ll*A[i-1]*iv[i]%mod;A[0]=0;}
    void inv(int*A,int*B,int l){
        if(l==1){B[0]=1;return;}
        static int t[N2];
        int len=l<<1;
        inv(A,B,l>>1);cls(B,l,len);
        cpy(t,A,l);cls(t,l,len);
        ntt(B,len,1);ntt(t,len,1);
        for(int i=0;i<len;++i)B[i] = B[i] * (2 - 1ll * t[i] * B[i] %mod +mod) %mod;
        ntt(B,len,-1);cls(B,l,len);
    }
    void ln(int*A,int*B,int l){
        static int t[N2];
        int len=l<<1;
        inv(A,B,l);
        cpy(t,A,l);cls(t,l,len);der(t,l);
        ntt(B,len,1);ntt(t,len,1);
        for(int i=0;i<len;++i)B[i] = 1ll * B[i] * t[i] %mod;
        ntt(B,len,-1);cls(B,l,len);
        dif(B,l);
    }
    void exp(int*A,int*B,int l){
        if(l==1){B[0]=1;return;}
        static int t[N2];
        int len=l<<1;
        exp(A,B,l>>1);cls(B,l,len);
        ln(B,t,l);
        for(int i=0;i<l;++i)t[i] = ( -t[i] + A[i] + mod)%mod;
        t[0]++;//!!!
        ntt(B,len,1);ntt(t,len,1);
        for(int i=0;i<len;++i)B[i] = 1ll * B[i] * t[i] %mod;
        ntt(B,len,-1);cls(B,l,len);
    }
    void solve(){
        if(!Z){cout<<pw(n,2*n-4)<<endl;return ;}
        int len=1;for(;len<=2*n;len<<=1);
        iv[1]=1;for(int i=2;i<=len;++i)iv[i]=1ll*(mod-mod/i)*iv[mod%i]%mod;
        for(int i=fac[0]=ifac[0]=1;i<=len;++i){
            ifac[i]=(ll)ifac[i-1]*iv[i]%mod;
            fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;      
        }
        int tmp = 1ll * n * n %mod * pw(Z,mod-2) %mod;
        for(int i=1;i<=n;++i)a[i] = 1ll * tmp * pw(i,i) %mod * ifac[i] %mod ;
        exp(a, b, len>>1 ); 
        int ans = 1ll * pw(1ll*Y*Z%mod , n) * pw((ll)n*n%mod*n%mod*n%mod , mod-2) %mod * fac[n] %mod * b[n] %mod;
        cout << ans << endl;
    }
}
int main(){
    freopen("tree.in","r",stdin);
    freopen("tree.out","w",stdout);
    n=rd();Y=rd();Z=pw(Y,mod-2)-1;op=rd();
    if(op==0)subtask0::solve();
    else if(op==1)subtask1::solve();
    else subtask2::solve();
    return 0;
}

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