WC2019数树 树形DP 多项式exp

Posted 2021-02-07 ywwyww

题目大意

　　有两棵 (n) 个点的树 (T_1) 和 (T_2)。

　　你要给每个点一个权值吗，要求每个点的权值为 ([1,y]) 内的整数。

　　对于一条同时出现在两棵树上的边，这条边的两个端点的值相同。

　　若 (op=0)，则给你两棵树 (T_1,T_2)，求方案数。

　　若 (op=1)，则给你一棵树 (T_1)，求对于所有 (n^{n-2}) 种 (T_2)，方案数之和。

　　若 (op=2)，则求对于所有的 (T_1,T_2)，求方案数之和。

　　(nleq 100000)

题解

　　新建一个图 (G)，把两棵树的公共边加到 (G) 中。记 (m) 为图 (G) 的连通块数量。那么答案就是 (y^{n-m})。

　　令 (z=y^{-1})，那么答案就变成了 (y^nz^m)。也就是说，每有一条相同的边，方案的贡献就要 ( imes z)。

op=0

　　这个大家都会。

op=1

[ z^m=sum_{i=0}^minom{m}{i}(z-1)^i ]

　　那么可以枚举一个边集 (E)，计算有多少种生成树包含 (E)，然后把答案加上方案数 ( imes{(z-1)}^{lvert E vert})。

　　记这 (E) 条边形成了 (m) 个连通块，这些连通块的大小为 (a_1,a_2,ldots,a_m)，那么贡献就是
[ egin{align} &{(z-1)}^{n-m}sum_{sum_{i=1}^md_i=2m-2}(m-2)!prod_{i=1}^mfrac{a_i^{d_i}}{(d_i-1)!}=&{(z-1)}^{n-m}n^{m-2}prod_{i=1}^ma_i\end{align} ]
　　(prod_{i=1}^ma_i) 可以看成是每个连通块内选一个点的方案数。这样就可以DP了。

　　时间复杂度：(O(n))

op=2

　　枚举两棵树的公共边个数：
[ egin{align} s_n&=sum_{i=1}^{n}{(z-1)}^{n-i}sum_{sum_{j=1}^ia_j=n}frac{n!}{i!}(prod_{j=1}^ifrac{a_j^{a_j-2}}{a_j!})(n^{i-2}prod_{j=1}^ia_j)^2&=sum_{i=1}^{n}{(z-1)}^{n-i}frac{n!n^{2i-4}}{i!}sum_{sum_{j=1}^ia_j=n}prod_{j=1}^ifrac{a_j^{a_j}}{a_j!}&=sum_{i=1}^{n}{(z-1)}^{n-i}n^{2i-4}sum_{sum_{j=1}^ia_j=n}prod_{j=1}^iinom{(sum_{k=1}^ja_k)-1}{a_j-1}{}a_j^{a_j}\end{align} ]
　　记 (f_l=sum_{i=1}^{l}{(z-1)}^{-i}n^{2i}sum_{sum_{j=1}^ia_j=l}prod_{j=1}^iinom{(sum_{k=1}^ja_k)-1}{a_j-1}{}a_j^{a_j})。

　　转移时枚举最后一块的大小，有：
[ f_i=egin{cases} 1&,i=0\sum_{j=1}^ifrac{(i-1)!n^2j^jf_{i-j}}{(i-j)!(j-1)!(z-1)}&,i>0 end{cases} ]
　　直接DP是 (O(n^2)) 的。

　　记 (g_i=sum_{igeq 1}frac{n^2i^i}{(i-1)!(z-1)})，(F(x)) 为 (f) 的 EGF，(G(x)) 为 (g) 的 OGF，那么
[ egin{align} xF'(x)&=F(x)G(x)\frac{F'(x)}{F(x)}&=frac{G(x)}{x}\ln F(x)&=int frac{G(x)}{x}F(x)&=e^{int frac{G(x)}{x}} end{align} ]
　　直接多项式 exp 就好了。

　　答案为 ((z-1)^nn^{-4}f_n)

　　时间复杂度：(O(nlog n))

代码

const ll p=998244353;
ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)
            s=s*a%p;
    return s;
}
const int N=100010;
int n,op;
ll z,_z;
ll ans;
namespace solve0
{
    map<int,int> a[N];
    void solve()
    {
        if(_z==1)
        {
            ans=1;
            return;
        }
        int x,y;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            io::get(x);
            io::get(y);
            if(x>y)
                swap(x,y);
            a[x][y]++;
        }
        ans=1;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            io::get(x);
            io::get(y);
            if(x>y)
                swap(x,y);
            if(a[x].count(y))
                ans=ans*z%p;
        }
    }
}
namespace solve1
{
    vector<int> g[N];
    ll f[N][2];
    void dfs(int x,int fa)
    {
        f[x][0]=f[x][1]=1;
        for(auto v:g[x])
            if(v!=fa)
            {
                dfs(v,x);
                ll s0=(f[x][0]*f[v][0]%p*z+f[x][0]*f[v][1]%p*n)%p;
                ll s1=(f[x][0]*f[v][1]%p*z+f[x][1]*f[v][0]%p*z+f[x][1]*f[v][1]%p*n)%p;
                f[x][0]=s0;
                f[x][1]=s1;
            }
    }
    void solve()
    {
        if(_z==1)
        {
            ans=fp(n,n-2);
            return;
        }
        int x,y;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            io::get(x);
            io::get(y);
            g[x].push_back(y);
            g[y].push_back(x);
        }
        z--;
        dfs(1,0);
        ans=f[1][1]*fp(n,p-2)%p;
    }
}
namespace solve2
{
    const int N=270000;
    namespace ntt
    {
        const int W=262144;
        ll w[N];
        int rev[N];
        void init()
        {
            w[0]=1;
            ll s=fp(3,(p-1)/W);
            for(int i=1;i<W/2;i++)
                w[i]=w[i-1]*s%p;
        }
        void ntt(ll *a,int n,int t)
        {
            for(int i=1;i<n;i++)
            {
                rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
                if(rev[i]>i)
                    swap(a[i],a[rev[i]]);
            }
            for(int i=2;i<=n;i<<=1)
                for(int j=0;j<n;j+=i)
                    for(int k=0;k<i/2;k++)
                    {
                        ll u=a[j+k];
                        ll v=a[j+k+i/2]*w[W/i*k];
                        a[j+k]=(u+v)%p;
                        a[j+k+i/2]=(u-v)%p;
                    }
            if(t==-1)
            {
                reverse(a+1,a+n);
                ll inv=fp(n,p-2);
                for(int i=0;i<n;i++)
                    a[i]=a[i]*inv%p;
            }
        }
        void mul(ll *a,ll *b,ll *c,int n,int m,int l)
        {
            static ll a1[N],a2[N];
            int k=1;
            while(k<=n+m)
                k<<=1;
            memset(a1,0,sizeof(a1[0])*k);
            memset(a2,0,sizeof(a2[0])*k);
            memcpy(a1,a,sizeof(a1[0])*(n+1));
            memcpy(a2,b,sizeof(a2[0])*(m+1));
            ntt::ntt(a1,k,1);
            ntt::ntt(a2,k,1);
            for(int i=0;i<k;i++)
                a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;
            ntt::ntt(a1,k,-1);
            memcpy(c,a1,sizeof(a1[0])*(l+1));
        }
        void inv(ll *a,ll *b,int n)
        {
            if(n==1)
            {
                b[0]=fp(a[0],p-2);
                return;
            }
            inv(a,b,n>>1);
            static ll a1[N],a2[N];
            memset(a1,0,sizeof(a1[0])*(n<<1));
            memset(a2,0,sizeof(a2[0])*(n<<1));
            memcpy(a1,a,sizeof(a1[0])*n);
            memcpy(a2,b,sizeof(a2[0])*(n>>1));
            ntt(a1,n<<1,1);
            ntt(a2,n<<1,1);
            for(int i=0;i<n<<1;i++)
                a1[i]=a2[i]*(2-a1[i]*a2[i]%p)%p;
            ntt(a1,n<<1,-1);
            memcpy(b,a1,sizeof(a1[0])*n);
        }
        void ln(ll *a,ll *b,int n)
        {
            static ll a1[N],a2[N],a3[N];
            for(int i=1;i<n;i++)
                a1[i-1]=a[i]*i%p;
            a1[n-1]=0;
            inv(a,a2,n);
            mul(a1,a2,a3,n-1,n-1,n-1);
            for(int i=1;i<n;i++)
                b[i]=a3[i-1]*fp(i,p-2)%p;
            b[0]=0;
        }
        void exp(ll *a,ll *b,int n)
        {
            if(n==1)
            {
                b[0]=1;
                return;
            }
            exp(a,b,n>>1);
            static ll a1[N],a2[N],a3[N];
            memset(b+(n>>1),0,sizeof(b[0])*(n>>1));
            ln(b,a3,n);
            memset(a1,0,sizeof(a1[0])*n);
            memset(a2,0,sizeof(a2[0])*n);
            memcpy(a1,b,sizeof(a1[0])*(n>>1));
            for(int i=0;i<(n>>1);i++)
                a2[i]=a[(n>>1)+i]-a3[(n>>1)+i];
            ntt(a1,n,1);
            ntt(a2,n,1);
            for(int i=0;i<n;i++)
                a1[i]=a1[i]*a2[i]%p;
            ntt(a1,n,-1);
            memcpy(b+(n>>1),a1,sizeof(a1[0])*(n>>1));
        }
    }
    ll inv[N],fac[N],ifac[N];
    ll f[N],g[N],w[N];
    void solve()
    {
        if(_z==1)
        {
            ans=fp(n,n-2)*fp(n,n-2)%p;
            return;
        }
        z--;
        ntt::init();
        fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            fac[i]=fac[i-1]*i%p;
            inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
            ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
        }
        ll ifacz=fp(z,p-2);
        
//      f[0]=1;
//      for(int i=1;i<=n;i++)
//          w[i]=fp(i,i);
//      for(int i=1;i<=n;i++)
//          for(int j=1;j<=i;j++)
//              f[i]=(f[i]+f[i-j]*fac[i-1]%p*ifac[i-j]%p*ifac[j-1]%p*n%p*n%p*w[j]%p*ifacz)%p;


        for(int i=1;i<=n;i++)
            g[i]=fp(i,i)*n%p*n%p*ifac[i-1]%p*ifacz%p*inv[i]%p;
        int k=1;
        while(k<=n)
            k<<=1;
        ntt::exp(g,f,k);
        ans=f[n]*fac[n]%p*fp(z,n)%p*fp(n,p-1-4)%p;
    }
}
int main()
{
    freopen("tree.in","r",stdin);
    freopen("tree.out","w",stdout);
    io::get(n);
    io::get(_z);
    io::get(op);
    z=fp(_z,p-2);
    if(op==0)
        solve0::solve();
    else if(op==1)
        solve1::solve();
    else
        solve2::solve();
    ans=ans*fp(_z,n)%p;
    ans=(ans%p+p)%p;
    io::put(ans);
    return 0;
}