loj3120. 「CTS2019 | CTSC2019」珍珠

Posted 2022-11-10 psimonw

题意

你有\(n\)个物品，每个物品的颜色\(c \in [1, D]\)，你可以给这些物品同色的两两配对，求满足配对数大于等于\(m\)的染色方案数。
\(n, m \leq 1e9, D \leq 1e5\)。

题解

问题等价于求满足有奇数个物品的颜色数不超过\(n - 2m\)个的染色方案数。
设\(f_i, j\)代表考虑前\(i\)个物品后，有\(j\)种颜色有奇数个物品的方案数。这个东西是比较高档的暴力。
再说说正解。
由于\(n, m\)都很大，所以考虑生成函数。
对于某种颜色，有奇数个物品的生成函数为\(\frac e ^ x - e ^ -x2\)。
设\(f_i\)表示至少\(i\)种颜色有奇数个物品的方案数。
则有
\[ f_i = \binom Di n! [x ^ n] (\frac e ^ x - e ^ -x2) ^ i e ^ x ^ (D - i) \]
整理一下式子，最终可以得到
\[ f_i = \fraci! \binomDi2 ^ i \sum_j = 0 ^ i (-1) ^ j \frac(D - 2j) ^ nj! (i - j)! \]
ntt得到\(f\)后再二项式反演一下即可。