数据结构与算法之树

Posted 2021-11-30 lisen10

树

 

树的表示方式有

1.  树形图表示法:逻辑结构描述直观
2.  嵌套集合表示法（文氏图表示法）
3.  凹入表示法
4.  广义表表示法

二叉树

二叉树是另一种重要的树形结构，是度为2的有序树，它的特点是每个结点至多有两棵子树。

 

二叉树的递归定义

二叉树是n(n≥0)个结点的有限集。它或者是空集(n=0)，或者同时满足以下两个条件：

    (1) 有且仅有一个根结点；

    (2) 其余的结点分成两棵互不相交的左子树和右子树。

 

二叉树的特点

如果二叉树的根结点只有一棵子树，必须明确区分它是左子树还是右子树，因为两者将构成不同形态的二叉树。

注意：二叉树不是树的特例。它们是两种不同的数据结构。

 

二叉树举例

 

二叉树的性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1 个结点。 (i≥1)

 

性质2：深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点（k≥1）

证明:

性质3：对任何一棵二叉树，若它含有n0个叶子结点、n2个度为2的结点，则必存在关系式：n0= n2+1。

即 叶子结点数＝度2结点 + 1

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为 [log2n] +1  下取整

证明：

性质5：

若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：

    (1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲， 否则，编号为 ?i/2? 的结点为其双亲结点；

    (2) 若 2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；

    (3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

 

两类特殊的二叉树：

满二叉树

指的是深度为k且含有2^k - 1个结点的二叉树。

特点：

（1）每一层上结点数都达到最大

（2）度为1的结点n1=0，树叶都在最下一层。

满二叉树结点层序编号方法：

从根结点起从上到下逐层（层内从左到右）对二叉树的结点进行连续编号。

 

 完全二叉树

树中所含的 n 个结点和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。

完全二叉树的特点：

1、满二叉树是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树；

2、在完全二叉树中，若某个结点没有左孩子，则它一定没有右孩子，即该结点必是叶结点。

 

 二叉树的存储结构：

 1．顺序存储结构

用一组地址连续的存储单元，以层序顺序存放二叉树的数据元素，结点的相对位置蕴含着结点之间的关系。

如完全二叉树

非完全二叉树，存储时必须将相应的位置空出来，使存放的结果符合完全二叉树的形状。

 

所以，二叉树顺序存储结构仅适用于完全二叉树。

若存储非完全二叉树时有可能对存储空间造成极大的浪费：

在最坏的情况下，一个深度为K且只有K个结点的右单支树需要2K-1个结点存储空间。

 

二叉树的链式存储结构

根据二叉树的非线性结构的特点，常用链式存储方式来表示二叉树。

二叉树的链式存储结构有3种，它们是二叉链表、三叉链表和线索链表。

 二叉链表存储结构

把每个结点分成三个域：一个域存放结点本身的信息，另外两个是指针域，分别存放左、右孩子的地址。每个结点的结构表示为：

 

 二叉链表的C 语言类型描述如下:

typedef char TElemType;
typedef struct Node { 
    TElemType      data;
    struct Node  *lchild, *rchild; 
} BiTNode, *BiTree;

 

三叉链表（带双亲指针的二叉链表）