分治算法

Posted 2020-06-13

分治法设计思想：

1、将原问题分解为几个规模较小但类似于原问题的子问题，递归地求解这些子问题，然后再合并这些子问题的解来建立原问题的解；

2、解决问题所需的计算时间都与其规模有关，问题的规模越小，越容易求解，所需的计算时间也越少。分治法就是将一个难以解决的大规模的问题，拆分成规模小且所需计算时间少的相同问题，分别解决；

3、许多有用的算法在结构上是递归的：为了解决一个给定的问题，算法一次或多次递归的调用其自身以解决紧密相关的若干子问题（如：归并排序、快速排序、二分搜索等）。这些算法典型的采用了分治法的设计思想；

分治法步骤：

1、分解原问题为若干子问题，这些子问题是原问题的规模较小的实例；

2、解决这些子问题，递归地求解各子问题。如果子问题的规模足够小，则直接求解；

3、合并这些子问题的解成原问题的解（如果子问题是不独立的，紧密则会导致重复求解相同的子问题，会降低分治法效率，一般会采用动态规划）；

什么时候可以使用分治法：

1、问题可以拆分为若干个规模较小的相同问题，且拆分成小规模后可以很简单的解决；

2、利用拆分成子问题的解能够合并为原问题的解；

3、分解出的各个子问题是相互独立的，

分析分治算法：

当一个算法包含对其自身的递归调用时，我们往往可以用递归方程或递归式来描述其运行时间；

如果一个问题的规模为n，假设将问题分解成a个子问题，每个子问题的规模是原问题的1/b。由此可知每个子问题的求解时间为T(n/b)，如果分解成子问题需要时间D(n)，合并子问题的解需要时间C(n)，则得到递归式：T(n) = aT(n/b) + D(n) + C(n)；

求解递归式一般有三个方法：

1、代入法：猜测一个界，然后使用数学归纳法证明这个界是正确的，分三个步骤：

（1）凭感觉猜，不用关系系数和常数，猜测可能的形式；

（2）通过数学归纳法验证第一步才出来的form是否满足条件；

（3）确定系数和常数；

2、递归树法：将递归式转换成一棵树，其结点表示不同层次的递归调用产生的代价，然后采用边界和技术求解。如下图归并算法的递归树（a=2原问题可以分解成2个子问题，子问题是原问题的1/2规模， D(n)因为只比较子数组的中间位置，所以是常数）：

3、主方法依赖定理：设a ≥ 1 和 b>1为常数，设f(n)为一函数，T(n)由递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)对非负整数定义，则可能有如下渐近界：

（1）若对于某常数ε>0，有f(n) = O(n^(log_b(a)-ε))，则T(n) = ?( n^(log_b(a)) )；

（2）若f(n)=?(n^(log_b(a)))，则T(n) = ?(n^(log_b(a)) * lgn)；

（3）若对某常数ε>0，有f(n)=?(n^(log_b(a) + ε))，且对常数c<1与足够大的n，有a*f(n/b) ≤ c*f(n)，则T(n) = ?(f(n))；

以上三种情况需要记忆，能够解决一般情况下的递归式求解。