chatGPT教你算法——分治法

Posted 2022-12-16 刘炫320

0. 引言

在计算机科学中，分治法是一种用于解决复杂问题的常用方法。它的核心思想是将大问题分解为若干个规模较小的子问题，递归地解决这些子问题，最后再将它们的结果组合起来得到原问题的解。

本博客将向大家介绍分治法的概念和原理，并通过实例来展示如何使用分治法求解给定数列的最长不下降子序列问题和循环赛日程安排问题。

1. 什么是分治法

分治法是一种算法设计技巧，它通过分而治之的思想来解决复杂问题。其基本思想是将原问题分成若干个规模较小的子问题，递归地解决这些子问题，然后将这些子问题的解组合成原问题的解。这种方法通常被用来解决一些规模较大或者有难度的问题。分治法具有较好的时间复杂度和较高的空间复杂度，通常比其他普通的算法更加高效。

分治法的优势在于它可以将原问题分解成规模较小的子问题，利用递归的思想来解决这些子问题，这样可以减小计算量，提高算法的效率。另外，分治法还可以应用于求解一些具有特殊性质的问题，例如求最大值和最小值等。

然而，分治法也有一些劣势。首先，分治法的时间复杂度较高，对于一些比较简单的问题，采用分治法可能不是最优的选择。其次，分治法的空间复杂度也较高，因为它需要较多的额外空间来存储递归时产生的中间结果。

通常，分治法可以应用于解决求最大值、最小值、排序等问题，还可以用于求解一些具有特殊性质的问题，例如求解给定数列的最长不下降子序列和循环赛日程安排问题。

2. 定数列的最长不下降子序列

问题说明

给定一个整数数列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，求出它的最长不下降子序列的长度。

求解思路

求解最长不下降子序列的问题，我们可以使用动态规划的思想。

设 $f_i$ 表示以 $a_i$ 结尾的最长不下降子序列的长度。

如果 $a_i\ge a_j$，则有 $f_i=f_j+1$。
如果 $a_i<a_j$，则有 $f_i=1$。
据此，我们可以使用贪心的思想来求解这个问题，即对于每一个 $i$，我们可以枚举所有的 $j$，找出 $f_i$ 的最大值。最后，我们可以选择所有 $f_i$ 的最大值作为最长不下降子序列的长度。

示例代码

# 给定一个整数数列，求出它的最长不下降子序列的长度
def longest_increasing_subsequence(nums):
    # 如果数组为空，则直接返回0
    if not nums:
        return 0

    # 初始化状态数组
    f = [1] * len(nums)

    # 枚举每一个数字
    for i in range(len(nums)):
        # 枚举每一个比 nums[i] 小的数字
        for j in range(i):
            if nums[i] >= nums[j]:
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1)

    # 返回最长不下降子序列的长度
    return max(f)

# 测试
print(longest_increasing_subsequence([1, 3, 2, 4, 5]))  # 4
print(longest_increasing_subsequence([5, 4, 3, 2, 1]))  # 1
print(longest_increasing_subsequence([1, 2, 3, 4, 5]))  # 5

在这段代码中，我们首先定义了一个函数longest_increasing_subsequence，用于求解给定数列的最长不下降子序列的长度。然后，我们使用一个循环来枚举每一个数字，并使用另一个循环来枚举比当前数字小的数字。最后，我们可以返回最长不下降子序列的长度。

3. 循环赛日程安排问题

问题说明

设有n=2k个选手要进行网球循环赛， 要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：

（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次； （2）每个选手一天只能赛一次。

按此要求，可将比赛日程表设计成一个 n 行n-1列的二维表， 其中，第 i 行第 j 列表示和第 i 个选手在第 j 天比赛的选手。

功能说明

本程序运用分治的思想，实现了循环赛日程安排问题的求解， 生成日程表，输出。

求解思路

我可以给您一些关于利用分治法求解循环赛日程安排问题的指导思路。

首先，我们可以将循环赛的过程分为两个阶段：第一阶段是每支队伍与其它所有队伍各赛一次，第二阶段是每支队伍与自己赛一次。

在第一阶段，我们可以利用分治法的思想，将所有队伍分为两个等大的集合，分别计算这两个集合内部队伍之间的比赛日程安排。然后，再计算两个集合之间队伍的比赛日程安排。最后，将两个集合内部队伍的比赛日程安排和两个集合之间队伍的比赛日程安排组合起来，即可得到第一阶段的比赛日程安排。

在第二阶段，我们可以直接计算每支队伍与自己的比赛日程安排。最后，将第一阶段和第二阶段的比赛日程安排组合起来，即可得到整个循环赛的日程安排。

下面我们可以用一个例子来说明分治法求解循环赛日程安排问题的具体流程。假设现在有 4 支队伍参加循环赛，分别是 A、B、C 和 D。那么，我们可以这样求解这个问题：

在第一阶段，我们先将 4 支队伍分为两个等大的集合，分别是 A, B 和 C, D。然后，我们计算两个集合内部队伍之间的比赛日程安排，即 A 和 B 之间的比赛和 C 和 D 之间的比赛。此时，我们可以得到下面的比赛日程安排：

A vs B
C vs D
接着，我们计算两个集合之间队伍的比赛日程安排，即 A 和 C 之间的比赛、A 和 D 之间的比赛、B 和 C 之间的比赛和 B 和 D 之间的比赛。此时，我们可以得到下面的比赛日程安排：

A vs C
A vs D
B vs C
B vs D
最后，我们将第一阶段的比赛日程安排组合起来，得到整个第一阶段的比赛日程安排。此时，我们可以得到下面的比赛日程安排：

A vs B
C vs D
A vs C
A vs D
B vs C
B vs D

在第二阶段，我们直接计算每支队伍与自己的比赛日程安排。这里，我们可以得到下面的比赛日程安排：

A vs A
B vs B
C vs C
D vs D

最后，我们将第一阶段和第二阶段的比赛日程安排组合起来，即可得到整个循环赛的日程安排。此时，我们可以得到下面的比赛日程安排：

A vs B
C vs D
A vs C
A vs D
B vs C
B vs D
A vs A
B vs B
C vs C
D vs D

如果有更多的队伍参加循环赛，我们可以继续采用分治法的思想来计算比赛日程安排。通过这种方式，我们可以有效地求解循环赛日程安排问题。

代码示例

# 定义一个函数，用于求解循环赛日程安排问题
def solve_schedule(n):
    # 如果 n 为奇数，则不存在合法的日程安排
    if n % 2 == 1:
        return None

    # 如果 n 为 2，则直接返回一个合法的日程安排
    if n == 2:
        return [[1, 2]]

    # 计算前半部分和后半部分的日程安排
    schedule1 = solve_schedule(n // 2)
    schedule2 = solve_schedule(n // 2)

    # 计算两个部分的日程安排之间的比赛
    schedule = []
    for i in range(1, n // 2 + 1):
        for j in range(n // 2 + 1, n + 1):
            schedule.append([i, j])

    # 将两个部分的日程安排组合起来，得到整个循环赛的日程安排
    return schedule1 + schedule + schedule2

# 输出日程安排表
print(solve_schedule(4))

4.小结

分治法是一种解决复杂问题的常用方法，它的核心思想是将一个大问题分解为若干个规模较小的子问题，递归地解决这些子问题，最后再将它们的结果组合起来得到原问题的解。

使用分治法求解给定数列的最长不下降子序列问题时，我们可以使用动态规划的思想，通过枚举每一个数字和每一个比它小的数字来求解最长不下降子序列的长度。

使用分治法求解循环赛日程安排问题时，我们可以递归地求解前半部分和后半部分的日程安排，然后将它们组合起来得到整个循环赛的日程安排。

总之，分治法是一种非常有用的算法，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。如果您想要更深入地学习分治法，可以继续查找相关资料，或者自己尝试解决一些实际问题。

（从本篇博客开始，引言和小结也是chatGPT自动生成的哦，你注意到了吗。）