概率论复习
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了概率论复习相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
一、随机变量的数字特征
1. 数学期望
- 刻画随机变量取值的平均数,若X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)
2. 方差
- 刻画随机变量取值的离散程度
- 定义
方差:D(x) = E{[X-E(X)]^2}
标准差:sigma(x) = sqrt(D(x)) - 常用计算公式
D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 - 性质
1. D(CX) = C^2 * D(X)
2. D(X)+D(Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
D(X)-D(Y)=D(X)+D(Y)-2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
if X,Y相互独立,则:=D(X)+D(Y)
分布 | 期望E |
方差D
|
二项分布B(n,p)
|
np
|
np(1-p)
|
泊松分布P(lambda) | lambda |
lambda
|
均匀分布U(a,b)
|
(a+b)/2
|
(b-a)^2/12 |
指数分布exp(lambda) |
1/lambda
|
1/(lambda^2)
|
正态分布N(mu,sigma) |
mu
|
sigma^2
|
3. 协方差
- 随机变量X与Y的协方差:
cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
D(X):=cov(X,X) - 性质:
1.对称性:cov(X,Y)=cov(Y,X)
2.齐性:cov(aX,bY)=ab*cov(X,Y)
3.可加性:cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y) - 常用计算公式:
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) - 协方差矩阵:n维随机变量(X1,X2,...,Xn)
4. 相关系数
- rho(X,Y)=cov(X,Y)/sqrt[D(X)*D(Y)],是量纲为1的量
- 性质:
1.rho(X,Y)可理解为X,Y标准化后的协方差
2.|rho(X,Y)|<=1
3.|rho(X,Y)|=1 <==> P{Y=aX+b}=1完全线性相关
5. 矩
- 随机变量更一般的数字特征:矩
- 定义:
X的k阶原点矩:gamma(k)=E(X^k), k=1,2,3,...
k阶绝对原点矩:alpha(k)=E(|X|^k), k=1,2,3,...
X的k阶中心矩:mu(k)=E{[X-E(X)]^k}, k=1,2,3,...
X的k阶绝对中心矩:beta(k)=E{|X-E(X)|^k}, k=1,2,3,... - 常见:
gamma(1)=E(X)
mu(1)=0
mu(2)=D(X)=gamma(2)-gamma(1)^2
二、大数定律和中心极限定理
1. 切比雪夫Chebyshev不等式
- 是对概率作的一个粗略的估计
- P{|X-E(X)|>=eps} <= D(X)/(eps^2),eps>0
- 例子:当eps=sigma时,
P{|X-E(X)|>=3sigma} <= sigma^2/(3sigma)^2 = 1/9
2. 大数定律
- 如X1,X2,...,Xn的期望均存在,对于任意eps>0,有:
则称:随机变量序列X1,X2,...,Xn服从大数定律 - 理解:
1.随机变量序列依概率收敛
3. 中心极限定理
- 相互独立的随机变量序列X1,X2,...,Xn的E与D均存在
X_sum = sum(Xi)=X1+X2+...+Xn的期望与方差:
E(X_sum) = sum[E(Xi)]
D(X_sum) = sum[D(Xi)] - 将X_sum标准化后:
Zn=X_sum-E(X_sum)/sqrt[D(X_sum)]
E(Zn)=0
D(Zn)=1 - 记Zn的分布函数为Fn(x):=P(Zn<=x},若:
则称:随机变量序列X1,X2,...,Xn服从中心极限定理 - 理解
1.{Zn}依分布收敛于标准正态分布随机变量
2.现实中许多随机变量Z都可以表示为大量的相互独立的随机变量之和,而且其中每一个随机变量对综合的影响十分微小,这类随机变量Z往往近似服从正态分布
四、应用
蒙特卡罗方法
以上是关于概率论复习的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章