概率论复习

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了概率论复习相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、随机变量的数字特征

1. 数学期望

  • 刻画随机变量取值的平均数,若X,Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)
 
2. 方差
  • 刻画随机变量取值的离散程度
  • 定义
    方差:D(x) = E{[X-E(X)]^2}
    标准差:sigma(x) = sqrt(D(x))
  • 常用计算公式
    D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
  • 性质
    1. D(CX) = C^2 * D(X)
    2. D(X)+D(Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
       D(X)-D(Y)=D(X)+D(Y)-2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
       if X,Y相互独立,则:=D(X)+D(Y)
分布 期望E
方差D
二项分布B(n,p)
np
np(1-p)
泊松分布P(lambda) lambda
lambda
均匀分布U(a,b)
(a+b)/2
(b-a)^2/12
指数分布exp(lambda)
1/lambda
1/(lambda^2)
正态分布N(mu,sigma)
mu
sigma^2

3. 协方差
  • 随机变量X与Y的协方差:
    cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
    D(X):=cov(X,X)
  • 性质:
    1.对称性:cov(X,Y)=cov(Y,X)
    2.齐性:cov(aX,bY)=ab*cov(X,Y)
    3.可加性:cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)
  • 常用计算公式:
    cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
  • 协方差矩阵:n维随机变量(X1,X2,...,Xn)
 
4. 相关系数
  • rho(X,Y)=cov(X,Y)/sqrt[D(X)*D(Y)],是量纲为1的量
  • 性质:
    1.rho(X,Y)可理解为X,Y标准化后的协方差
    2.|rho(X,Y)|<=1
    3.|rho(X,Y)|=1 <==> P{Y=aX+b}=1完全线性相关
 
5. 矩
  • 随机变量更一般的数字特征:矩
  • 定义:
    X的k阶原点矩:gamma(k)=E(X^k), k=1,2,3,...
    k阶绝对原点矩:alpha(k)=E(|X|^k), k=1,2,3,...
    X的k阶中心矩:mu(k)=E{[X-E(X)]^k}, k=1,2,3,...
    X的k阶绝对中心矩:beta(k)=E{|X-E(X)|^k}, k=1,2,3,...
  • 常见:
    gamma(1)=E(X)
    mu(1)=0
    mu(2)=D(X)=gamma(2)-gamma(1)^2

 

二、大数定律和中心极限定理

1. 切比雪夫Chebyshev不等式
  • 是对概率作的一个粗略的估计
  • P{|X-E(X)|>=eps} <= D(X)/(eps^2),eps>0
  • 例子:当eps=sigma时,
    P{|X-E(X)|>=3sigma} <= sigma^2/(3sigma)^2 = 1/9
 
2. 大数定律
  • 如X1,X2,...,Xn的期望均存在,对于任意eps>0,有:
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    则称:随机变量序列X1,X2,...,Xn服从大数定律
  • 理解:
    1.随机变量序列依概率收敛
 
3. 中心极限定理
  • 相互独立的随机变量序列X1,X2,...,Xn的E与D均存在
    X_sum = sum(Xi)=X1+X2+...+Xn的期望与方差:
    E(X_sum) = sum[E(Xi)]
    D(X_sum) = sum[D(Xi)]
  • 将X_sum标准化后:
    Zn=X_sum-E(X_sum)/sqrt[D(X_sum)]
    E(Zn)=0
    D(Zn)=1
  • 记Zn的分布函数为Fn(x):=P(Zn<=x},若:
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    则称:随机变量序列X1,X2,...,Xn服从中心极限定理
  • 理解
    1.{Zn}依分布收敛于标准正态分布随机变量
    2.现实中许多随机变量Z都可以表示为大量的相互独立的随机变量之和,而且其中每一个随机变量对综合的影响十分微小,这类随机变量Z往往近似服从正态分布
 
四、应用 
    蒙特卡罗方法
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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