概率论与数理统计期末不挂科复习笔记

Posted 2022-01-19 woodwhale

【概率论与数理统计】期末不挂科复习笔记

只能说最好先看看老师的ppt，在看看猴博士就全懂了~

第一章（条件概率、全概率、贝叶斯公式）

1、无放回类题目

无放回，直接用C解

2、有放回类题目

有放回，使用（n1+n2)!/n1!*n2!然后乘上每种的概率

3、需要画图的题目

4、条件概率

A发生的前提下，B发生的概率

5、全概率公式

所有概率的总和

6、贝叶斯公式

贝叶斯其实是条件概率反过来求。其实就是已知结果求原因

可能和全概率公式结合考点，通过上一篇的P(有客车发生故障)= 0.0084来计算贝叶斯这一问。

第二章（分布函数与概率密度）

1、已知Fx(X)与fx(X)中的一项，求另一项

Fx是分布函数，fx是概率密度

小fx是大Fx求导出来的，同理可以通过小fx求积分来算大Fx

Fx求导得到fx

fx求积分得到Fx

2、已知Fx(X)与fx(X)中的一种，求P

已知分布函数Fx，求概率

已知概率密度fx，求概率

注意：P(a<X<b)和P(a<=X<=b)是等价的，这个等号不影响

3、Fx(X)或fx(X)含未知数，求未知数

记住Fx(-∞) = 0 Fx(+∞) = 1，概率密度fx(X)在-∞和+∞上的积分为1

Fx分布函数例题：

fx概率密度例题：

4、求分布律

高中题目了属于是，只能说dddd

第三章（分布函数与概率密度2）

1、已知X分布列，求Y分布列

替换算就完事了

2、已知Fx(X)了，求Fy(Y)

也是带入替换

1. 把X换成什么什么Y
2. 替换Fx(X)中的x结果为Fx(?Y)
3. 判断y中是否有负号

如果是带有负号，那么就这样：

3、已知fx(X)，求fy(Y)

同样的套路

1. 写出x等于什么什么y
2. 用什么y替换fx(X)中的x，结果为fx(?y)
3. 令fy = (?y)’ * fx(?y)
4. 判断?y中是否有负号，如果有就是求得的答案的相反数

第四章（六大分布）

首先给出各种分布的分布律、概率密度、E(x)、D(x)

1、符合均匀分布，求概率

2、符合泊松分布，求概率

lambda是参数，x是某某次数

如果是这样的，千万不要用1-P(X=6)这种，要一个一个算！

3、符合二项分布，求概率

4、符合指数分布，求概率

5、符合正态分布，求概率

正态分布还是很重要的，后面也会经常用到标准化公式（x-u/o）

一定要记住fai(0) = 0.5

6、正态分布图像

1.面积表示概率，整个正态分布图像的总面积为1

2.图像关于u对称

3.o越小，图像越陡

看陡峭

7、各种分布的符号

第五章（二维随机变量）

1、已知二维离散型分布律，求？？？

离散型的就看表就好咯

例如：

查表：

作表：

穷举：

2、已知二位离散型分布律，判断独立性

如果满足p(xy) = p(x) * p(y)，那么相互独立

例1：

我们只需要验证每一个p(xy) = p(x) * p(y)，就可以验证独立性

例2：

因为独立，所以

因为所有的概率是1，所有我们求出一个a就可得到另一个b的概率

3、已知F(x,y)求f(x,y)

F(x,y)是联合分布函数

f(x,y)是联合概率密度

例如：

已知f(x,y)求F(x,y)

1. 找出f(x,y)不等于0时x的范围和y的范围
2. 计算结果
3. 带入计算
4. 区域

例题1：

例题2：

5、已知F(x,y)求P

记住公式然后带入

加一点变形：

6、已知f(x,y)求P

注意解题步骤，求范围再带入求更细的范围，再带入二重积分中

例题1：

难一点的例题2：

7、求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知数

记住下面的式子

8、求均匀分布的f(x,y)与P

记住式子：

例如：

第六章（边缘分布）

1、求边缘分布函数

记住如下公式：

例如：

带入公式即可求解

2、求边缘密度函数

F(X,Y)是边缘分布函数

fx(X),fy(Y)是边缘概率密度

有公式：

fx(X) = f(x,y)dy在y的无穷界限上的积分

fy(Y) = f(x,y)dx在x的无穷界限上的积分

例题：

3、判断连续型二维变量的独立性

F(x,y) = Fx(X) * Fy(Y)那么X、Y互相独立

f(x,y) = fx(X) * fy(Y)那么X、Y互相独立

这种题目带入验证就可以了

先求出 fx(X) 和 fy(Y)带入计算验证就OK了

如何求出 fx(X) 和 fy(Y)在上一个题型说了

例题：

4、一直f(x,y),Z=X+Y,求fz(Z)

记住关键公式：（卷积公式）

例题：

记得分类讨论就好啦

5、已知f(x,y),Z=x/y,求fz(Z)

记住公式：

例题：

解法和上题一致，就是公式使用不同

6、已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=max(X,Y),求Fz(Z)

记住一个公式：Fz(Z) = Fx(Z)*Fy(Z)

7、已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=min(X,Y),求Fz(Z)

就是和上面的题目的公式不一样：Fz(Z)=1-[1-Fx(Z)]*[1-Fy(Z)]

第七章（期望与方差）

1、求离散型的期望E(x）

简单题，高中方法求期望就好了

例题

2、求连续型的期望E(x)

连续型的期望公式：E(x) = xf(x)dx在无穷上求积分

公式如下：

例题：

3、已知Y=g(x),求E(Y)

公式如下：

其实也很好理解，之前的连续性E(x)=xf(x)dx求积分，那么带入下面的Y=g(x)=x，也就是得到xf(x)dx

离散型的例题：

连续型的例题：

4、求方差D(x)

记住两个公式（主要是第二个D(x)=E(x2)-[E(x)2]

例题1（离散型）：

例题2（连续型）：

5、根据E(x)、D(x)的性质进行复杂运算

看表：

例题：

6、E(x)、D(x)与各种分布的综合题

各种分布的公式：

例题1：（二项分布）

例题2：（泊松分布）

第八章（协方差）

1、Cov、ρxy、D相关类题目

开背：

例题1：

例题2：

2、利用切比雪夫不等式求概率

有公式：

例题:

3、多项独立同分布，求总和怎样的概率

还是看公式：

例题1:

例题2：

第九章（三大分布)

1、常用统计量

①样本均值

②样本k阶矩

③样本方差

④样本标准差

⑤样本k阶中心矩

注意B2和S2的区别（一个是1/n-1，一个是1/n）

2、三大分布

分别是χ2分布（卡方分布）、t分布、F分布

χ2分布有可加性、Ex=n、Dx=2n

t分布的Ex=0、Dx=n/(n-2)

F分布，上下都是卡方分布

第一章（矩估计）

1、求某一未知参数的矩估计

步骤如下：

例题1：

例题2：

1. 先用公式求出E(x)

2. 然后写出未知数等于多少E(x)的形式

3. 写出实际的E(x)

4. 最后将实际的E(x)带入到未知数方程中，得出答案

2、求两个未知参数的矩估计

步骤如下：

例题1：

书上例题

1. 算出E(x)和E(x2)
2. 写出未知数等于?E(x)+?E(x2)
3. 根据给出的样本求出实际的E(x)和E(x2)
4. 求出未知数就是矩估计

第二章（最大似然估计）

1、求出某离散型参数的最大似然估计量

步骤如下：

例题1:

1. 写出每个x的分布律

2. 对每个分布取ln

3. 对ln的结果求导

4. 令求导的结果为0，求出未知数

2、求出某连续型参数的最大似然估计量

步骤如下：

和上一类型差不多，这里第一步先求每个fx就可以了

例题1：

1. 求出fx1、fx2、fx3…fxn
2. 对每个fx求ln
3. 对ln结果求导
4. 多个求导结果相加要等于0，求出未知数

第三章（区间估计）

区间估计

看表！考点有标准化等

单个正态总体参数的区间估计（老师的ppt）

两个正态总体参数的区间估计（老师的ppt）

一定要记住前面的三个分布！！！

此外，书上p175页也有上图的公式

背完上面的公式我们来看例题~

例题1：

首先看求什么的置信区间，是求μ的，那么就是正态分布标准化公式的那套

其次置信水平为0.95那么1-α=0.95，α=0.05，所以α/2=0.025

并且没有σ，所以我们需要用s来代替σ

因为(n-1)s2/σ2满足t分布，所以有如下的置信区间

将算出的各种值带入求解:

例题2：

首先分析求哪个的置信区间，可以看到求σ的，那么就是套卡方分布那套

置信水平0.95，1-α=0.95，α=0.025

又因为μ没给，就用(n-1)s2/σ2~卡方(n-1)，得到σ2的置信区间：

带入求就好了

注意！！！上图的置信区间是σ2的，我们要求的是σ的，需要根号一下！

答案：

还有可能考μ1-μ2的类型，背表！！！！

第四章（假设检验)

假设检验

和上一章内容有关，假设检验这里就学了一共6个公式

第一种类型——Z检验法：

第二种类型——T检验法：

需要注意的是，我们的原假设尽量是向良好的结果假设。

另外就是拒绝域问题，我们求出来的值在拒绝域之内，就是被拒绝了，就是不符合我们的原假设。在拒绝域之外就是良好的，符合我们的原假设。

例题就看书上的p215页的三道题目就好了