[Jsoi2015]染色问题

Posted 2021-10-27 asuldb

题目

看到这个限制条件有点多，我们就一直容斥好了

先容斥颜色，我们枚举至少不用\(i\)种颜色

再容斥列，我们枚举至少不用\(j\)列

最后容斥行，枚举至少不用\(k\)行

容斥系数显然是\((-1)^i,(-1)^j,(-1)^k\)，我们从\(c\)种颜色里选出\(i\)种不用，\(m\)列里选出\(j\)列不凃，\(n\)行里选出\(k\)行不凃，分别是\(\binom{c}{i},\binom{m}{j},\binom{n}{k}\)

对于剩下的\((m-j)(n-k)\)个格子，每个格子我们有\(c-i\)种颜色可以涂，或者直接空着，所以有\(c-i+1\)种选择

于是我们的答案就是

\[\sum_{i=0}^c\sum_{j=0}^m\sum_{k=0}^n(-1)^{i+j+k}\binom{c}{i}\binom{m}{j}\binom{n}{k}\times (c-i+1)^{(m-j)(n-k)}\]

里面用快速幂算那个东西会\(T\)的，我们乱搞一下就能优化成\(O(nmc)\)了

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define re register
#define LL long long
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
const int mod=1e9+7;
const int maxn=405;
int n,m,c;
int fac[maxn],inv[maxn],ifac[maxn];
inline int C(int n,int m) {
    if(m>n) return 0;
    return 1ll*fac[n]*ifac[n-m]%mod*ifac[m]%mod;
}
inline int ksm(int a,int b) {
    int S=1;
    while(b) {if(b&1) S=1ll*S*a%mod;b>>=1;a=1ll*a*a%mod;}
    return S;
}
int main() {
    n=read(),m=read(),c=read();
    inv[1]=1,fac[0]=1,ifac[0]=1;
    for(re int i=1;i<=400;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    for(re int i=2;i<=400;i++) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(re int i=1;i<=400;i++) ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%mod;
    int ans=0;
    for(re int i=0;i<=c;i++)
        for(re int j=0;j<=m;j++) {
            int now=1,t=ksm(c-i+1,m-j);
            for(re int k=n;k>=0;--k) {
                int tot=1ll*C(c,i)*C(m,j)%mod*C(n,k)%mod*now%mod;
                if((i+j+k)&1) ans=(ans-tot+mod)%mod;
                    else ans=(ans+tot)%mod;
                now=1ll*now*t%mod;
            }
        }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}