[JSOI2015]染色问题

Posted 2021-12-14 mrclr

嘟嘟嘟


这题一大早开的，花了一个点儿推了一个\(O(n ^ 4)\)的做法，虽然过不了，但这是也是对计数这么烂的我的一个极大的鼓舞（耶！）。


我当然是先说我自己的做法啦！想看正解的巨佬们往下翻。。
这题第一眼就是到肯定得容斥，但关键是怎么容斥。
我的做法是用所有方案减去不合法的方案，剩下的就是合法的方案。
令\(f[n][m]\)表示大小为\(n * m\)的棋盘的合法的方案数。那么首先所有方案是\((c + 1) ^ nm\)（可以不上色），然后先容斥算出每种颜色至少出现一次的方案数，答案为至少0个颜色没有出现的方案数-至少1个颜色没有出现的方案数+至少2个颜色-至少三个颜色……即\(f[i][j] = \sum _ k = 0 ^ c (-1) ^ k * (c + 1 - k) ^ nm * C _ c ^ k\)。
这个时候我们再考虑行列的限制，做法很暴力：枚举多少行多少列空着，然后再乘上组合数。这样我们就得到了最终的转移方程：
\[f[i][j] = \sum _ k = 0 ^ c (-1) ^ k * (c + 1 - k) ^ nm * C _ c ^ k - \sum _ i = 1 ^ n \sum _ j = 1 ^ m f[i][j] * C_n ^ i * C_m ^ j\]于是\(O(n ^ 4)\)dp就好啦。
（代码不放了，照转移方程写就完事了）


下面开始讲正解。
正解的一波容斥很带劲，但我现在只是感性理解……
有三个限制条件，然后答案就是这么个容斥（？？？）
\[\sum _ i = 0 ^ n \sum _ j = 0 ^ m \sum _k = 0 ^ c C_n ^ i * C_m ^ j * C _ c ^ k * (-1) ^ n + m + c - i - j - k * (k + 1) ^ ij\]
但这样\(O(n ^ 3logn)\)还过不了，得小推一下。
我们把\(j\)挪到后面，然后拆开\(-1\)的乘方：
\[\sum _ i = 0 ^ n \sum _ k = 0 ^ c C_n ^ i * C _ c ^ k * (-1) ^ n + m + c - i - k * \sum _ j = 0 ^ m C_m ^ j * (-1) ^ j * (k + 1) ^ ij\]
然后后面的那个\(\sum\)可以用二项式定理转化一下：
\[\sum _ i = 0 ^ n \sum _ k = 0 ^ c C_n ^ i * C _ c ^ k * (-1) ^ n + m + c - i - k * (1 - (k + 1) ^ i) ^ m\]
这样就过了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<assert.h>
using namespace std;
#define enter puts("") 
#define space putchar(' ')
#define Mem(a, x) memset(a, x, sizeof(a))
#define In inline
typedef long long ll;
typedef double db;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const db eps = 1e-8;
const int maxn = 405;
const ll mod = 1e9 + 7;
In ll read()

  ll ans = 0;
  char ch = getchar(), last = ' ';
  while(!isdigit(ch)) last = ch, ch = getchar();
  while(isdigit(ch)) ans = (ans << 1) + (ans << 3) + ch - '0', ch = getchar();
  if(last == '-') ans = -ans;
  return ans;

In void write(ll x)

  if(x < 0) x = -x, putchar('-');
  if(x >= 10) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');

In void MYFILE()

#ifndef mrclr
  freopen("ha.in", "r", stdin);
  freopen("ha.out", "w", stdout);
#endif


int n, m, c;

ll fac[maxn], inv[maxn], Pow[maxn * maxn];
In ll inc(ll a, ll b) return a + b < mod ? a + b : a + b - mod;
In ll C(int n, int m) return fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
In ll quickpow(ll a, ll b)

  ll ret = 1;
  for(; b; b >>= 1, a = a * a % mod)
    if(b & 1) ret = ret * a % mod;
  return ret;

In void init()

  fac[0] = inv[0] = 1;
  for(int i = 1; i < maxn; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
  inv[maxn - 1] = quickpow(fac[maxn - 1], mod - 2);
  for(int i = maxn - 2; i; --i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;


int main()

  MYFILE();
  n = read(), m = read(), c = read();
  init();
  ll ans = 0;
  for(int i = 0; i <= n; ++i)
    for(int k = 0; k <= c; ++k)
      
        ll tp = C(n, i) * C(c, k) % mod * quickpow(1 + mod - quickpow(k + 1, i), m) % mod;
        int flg = (n + m + c - i - k) & 1;
        ans = inc(ans, flg ? mod - tp : tp);
      
  write(ans), enter;
  return 0;