BZOJ-1076奖励关 概率与期望 + 状态压缩DP

Posted 2020-07-26 DaD3zZ

1076: [SCOI2008]奖励关

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Description

　　你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。 宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input

　　第一行为两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随
后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

Output

　　输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input

1 2
1 0
2 0

Sample Output

1.500000

HINT

【数据规模】
1<=k<=100,1<=n<=15，分值为[-10^6,10^6]内的整数。

Source

Solution

思路很好的一道题

一开始看到，打算用bool数组记录从属情况，看数据范围，感觉一眼状压，就开始搞

然而顺推并推不出来

后来明白，顺推产生的状态最后会极多，然后还无法判断最优的，所以不行

所以正解是倒推

f[i][j]表示第i个宝物,已选状态为j,那么最后结果就是f[1][0]

至于转移的过程,枚举每个物品,如果当前已选限制物品则$f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<(l-1))]+p[l])$

否则$f[i][j]+=f[i+1][j]$

因为所求为期望,比较显然最后$f[i][j]/=n$

Code

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while (ch<‘0‘ || ch>‘9‘) {if (ch==‘-‘) f=-1; ch=getchar();}
    while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) {x=x*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
    return x*f;
}
int k,n,p[20];
int xz[(1<<16)+10];
double f[110][(1<<16)+10];
void dp()
{
    for (int i=k; i>=1; i--)
        for (int j=0; j<=(1<<n)-1; j++)
            {
                for (int l=1; l<=n; l++)
                    if ((xz[l]&j)==xz[l])
                        f[i][j]+=max(f[i+1][j],f[i+1][j|(1<<(l-1))]+p[l]);
                    else f[i][j]+=f[i+1][j];
                f[i][j]/=n;
            }
}
int main()
{
    k=read(),n=read();
    for (int i=1,x; i<=n; i++)
        {p[i]=read();x=read(); while (x!=0) xz[i]+=(1<<(x-1)),x=read();}
    dp();
    printf("%.6lf\n",f[1][0]);
    return 0;
}