bzoj1076: [SCOI2008]奖励关(期望dp+状压dp)

Posted 2020-10-13 安

1076: [SCOI2008]奖励关

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Description

　　你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，
每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。
 宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（
这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi
分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过
一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可
以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你
采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input

　　第一行为两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随
后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

Output

　　输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input

1 2
1 0
2 0

Sample Output

1.500000

HINT

 

【数据规模】

1<=k<=100,1<=n<=15，分值为[-10^6,10^6]内的整数。

 

/*
看到n很小可以状压
首先第一眼可以想到f[i][sta]表示到第i轮，物品选择状态为sta的最大期望值。
但是这样有个问题,可能到第i轮无法达到sta这个状态，但是也被当做了合法往后进行转移。
所以考虑倒退，这样状态就更改为f[i][sta]表示1~i-1轮能够到达sta这个状态,i到k轮的最大期望值。
这样就可以倒退，枚举下一个物品选不选进行转移了。 
注意一点 
这里求的是期望值，上面求的东西覆盖了第i轮取了所有n种宝物的情况
所以在每一个状态计算完之后，把f[i][sta]除以n即为期望平均值。
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

#define N 107

using namespace std;
int n,k,cnt,need[N];
double val[16],f[N][1<<16];

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c>‘9‘||c<‘0‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
    return x*f;
}

int main()
{
    int x;
    k=read();n=read(); 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf",&val[i]);x=read();
        while(x) need[i]|=(1<<x-1),x=read();
    }
    for(int i=k;i;i--)
      for(int sta=0;sta<=(1<<n)-1;sta++)
      {
            for (int j=1; j<=n; j++)
                if ((sta&need[j])==need[j])
                    f[i][sta]+=max(f[i+1][sta],f[i+1][sta|(1<<(j-1))]+val[j]);
                else
                    f[i][sta]+=f[i+1][sta];
            f[i][sta]/=(double)n;
      }
    printf("%.6lf\n",f[1][0]);
    return 0;
}