自相关函数怎么理解，为什么定义中有共轭，卷积呢。定义中的卷积，共轭有什么意义？尤其是在信号处理方面

Posted 2020-07-26 AijunHe

知乎上有解答，相当经典：https://www.zhihu.com/question/24687047

 

简洁地解释如下：

1) 首先我们仅考虑实信号。

自相关的直观含义就是：把一个信号平移一段距离，跟原来有多相似。

于是就有了自相关的定义：

它代表了“移、乘、积”这三步操作。

 

如果只谈自相关，其实到此就可以结束了。

只不过，在信号处理领域中还有一个叫“卷积”的东西，在别的地方（已知线性时不变系统的冲激响应和输入，求响应）有用。

它跟自相关的定义很相似，包含了“卷、移、乘、积”四步操作：

左边有时也写作，表示这个函数是由x(t)和y(t)卷积而得的，但它的自变量是。

 

我们发现卷积比自相关多了一步“卷”的操作，为了去掉这个多余的操作，我们先把原信号自己卷一下，就可以抵消掉卷积中的“卷”操作了。这就是自相关与卷积的关系：

 

 

2) 现在扩展到复数域。

自相关是要刻画一个信号平移后与原始信号的相似性。显然，不平移时应该是最相似的。

我们希望x(t)与x(t)本身相乘后积分时，各时间点的值能够因叠加而增强。

在实数域上x(t)直接自乘没有问题。

在复数域上，x(t)自乘后辐角还是乱的。

如果对其中一个x(t)取一下共轭，相乘后辐角就统一变成0了，积分时就能够取得叠加增强的效果。

所以在复数域上，自相关是这样的：

（共轭取在前者还是后者上都可以，取决于作者的习惯）

 

扩展一下，复数域上线性空间的内积的定义中也有共轭，其动机与此处相同。“相关”这个运算其实就是一种内积。