数字信号处理相关函数与线性卷积关系 ( 卷积概念 | 相关函数概念 | 相关函数与线性卷积对比 | x(-m) 共轭 与 y(m) 的卷积就是两个信号 位移 m 的相关函数 )

Posted 2022-03-12 韩曙亮

文章目录

• 总结
• 一、相关函数与线性卷积概念
• • 1、卷积
  • • 卷积概念
    • 卷积公式
  • 2、相关函数
  • • 互相关函数
    • 自相关函数
• 二、相关函数与线性卷积关系
• • 1、相关函数与线性卷积对比
  • 2、使用 卷积 推导 相关函数
  • 3、使用 卷积 计算 互相关函数
  • 4、使用 卷积 计算 自相关函数

总结

相关函数 与 卷积 在 数学上是有关系的 , 但是其物理意义不同 ;

• 卷积的物理意义 : 线性时不变系统 输入序列 , 输出序列 与 单位脉冲响应 $h(n)$ 之间的关系 ;
• 相关函数 : 反应两个信号之间的关系 ;

可以使用 " 快速计算卷积 " 的方法 , 计算相关函数 ;

一、相关函数与线性卷积概念

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1、卷积

卷积概念

对于 线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 来说 ,

假设 $x(n)$ 是 LTI 系统的 " 输入序列 " , $y(n)$ 是 " 输出序列 " ,

则有 :

$$y(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)=x(n)\ast h(n)$$

线性时不变系统 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 输出序列 "

等于

" 输入序列 " 与 " 系统单位脉冲响应 " 的 线性卷积 ;

卷积公式

卷积公式如下 :

$$y(n)=x(n)\ast h(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)h(n-m)$$

卷积具有交换律 :

$$y(n)=x(n)\ast h(n)=h(n)\ast x(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }h(m)x(n-m)$$

2、相关函数

互相关函数

互相关函数 表示的是 两个不同的信号 之间的相关性 ;

$x(n)$ 与 $y(n)$ 的 " 互相关函数 " 如下 ,

$$r_{xy}(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n)y(n+m)$$

其中 $y(n)$ 进行了移位 , 向左移动了 $m$ 单位 ,

该 " 互相关函数 " 求的是 $y(n)$ 移位 $m$ 后的序列 与 $x(n)$ 序列之间的关系 ;

注意这里的 $n$ 表示的是时刻 , $m$ 表示的是信号移动的间隔 ;

该 " 互相关函数 " 表示的是 $x(n)$ 信号 , 与 隔了 $m$ 时间后的 $y(n)$ 信号之间的关系 ;

这 $2$ 个信号 ( 序列 ) 之间 " 关系 " 是一个 函数 , 函数的自变量是 $m$ 间隔 , 不是 $n$ ;

自相关函数

自相关函数 ( Autocorrelation Function ) :

$$r_{xx}(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n)x(n+m)=r_x(m)$$

" 自相关函数 " 是 " 自己信号 " 与 " 隔一段时间后的 自己信号 " 之间的 相关性 ;

如果 $m=0$ 时 , " 自己信号 " 与 " 隔一段时间 $m$ 后的自己信号 " 完全相等 , 该值就是 信号的能量 ;

$$r_x(0)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x(n){|}^2=E$$

二、相关函数与线性卷积关系

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1、相关函数与线性卷积对比

卷积可以写为 :

$$g(n)=x(n)\ast y(n)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x(m)y(n-m)$$

相关函数 :

$$r_{xy}(m)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n)y(n+m)$$

相关函数 与 卷积对比 :

• 加和式的范围都是 $-\infty$ ~ $+\infty$ ;
• $x(n)$ 序列项的自变量不同 , 相关函数是 $n$ , 卷积是 $m$ ;
• $x(n)$ 序列 相关函数取了共轭 , 卷积没有 ;
• $y(n)$ 序列 相关函数的 自变量是 $n+m$ , 卷积的自变量是 $n-m$ ;

2、使用 卷积 推导 相关函数

$x(-m)$ 的共轭 与 $y(m)$ 的 卷积 计算 :

$$x^{\ast }(-m)\ast y(m)=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(-n)y(m-n)$$

令 $-n=n^{}$